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¿Cuáles son algunos razonable de sonido declaraciones que son independientes de ZFC?

Cada ahora y entonces, alguien me va a decir acerca de una pregunta. Cuando me pongo a pensar acerca de ello, dicen, "en realidad, es indecidible en ZFC."

Por ejemplo, supongamos que a es Un grupo abelian de tal forma que cada breve secuencia exacta de abelian grupos 0→ℤ→B→a→0 se divide. De lo anterior se sigue que a es libre? Esto se conoce como Whitehead del Problema, y es indecidible en ZFC.

¿Cuáles son algunas otras declaraciones que no son directamente conjunto teórico, y creo que tendrías que jugar con ellos durante una semana se iba a producir una prueba o contraejemplo, pero resultan ser indecidible? Una respuesta por post, por favor, e incluir una referencia, si es posible.

289voto

thedeeno Puntos 12553

"Si un conjunto X es menor en la cardinalidad de otro conjunto Y, entonces X tiene menos subconjuntos que Y."

A pesar de la declaración que suena obvio, es en realidad independiente de ZFC. La declaración de la siguiente manera a partir de la generalización de la Hipótesis continua, pero hay modelos de ZFC tener contraejemplos, incluso en el relativamente casos concretos, donde X es el números naturales y y es cierto innumerable conjunto de los números reales (pero, sin embargo, la powersets P(X) y P(Y) se puede poner en bijective correspondencia). Esta situación se produce bajo el Axioma de Martin, cuando CH falla.

143voto

Joel Spolsky Puntos 22686

ACTUALIZACIÓN: he editado la respuesta mediante la adición de detalles y la adición de una referencia. En particular, me especializados de un campo arbitrario a los números complejos en respuesta a Juan del comentario.

He aquí un ejemplo de álgebra conmutativa. La dimensión proyectiva de un módulo M se define como la longitud mínima de una resolución proyectiva de M. sea S el anillo ℂ[x,y,z] y M es el módulo de ℂ(x,y,z). A continuación, la dimensión proyectiva de M es indecidible en ZFC. Más específicamente, la dimensión proyectiva de M es 2 si la hipótesis continua se mantiene, y es 3 si el continuum hipótesis de falla.

Esto se desprende de Barbara Osofsky del trabajo (MR0548131); véase Teorema de la 2.51 de Homológica Dimensiones de los Módulos. Ella parece tener un gran número de resultados que serían relevantes para esta pregunta.

88voto

CK. Puntos 923

re:

He aquí un ejemplo de álgebra conmutativa. [C = números complejos] sea S el anillo C[x,y,z] y M es el módulo C(x,y,z). A continuación, la dimensión proyectiva de M es 2 si la hipótesis continua se mantiene, y es 3 si el continuum hipótesis de falla.

Drinfeld ha señalado (véase el http://arxiv.org/abs/math/0309155v4 ) que el conjunto de la teoría de los problemas vienen de la utilización incorrecta de la definición de "proyectiva". Raynaud y Gruson demostrado que projectivity de un módulo M es equivalente a la combinación de tres condiciones:

(1) planitud

(2) la descomposición como suma directa de countably módulos generados

(3) Mittag-Leffler condición

Que (2) es posible que los módulos proyectivos es un teorema de Kaplansky, pero la descomposición es no-canónico, y esto es lo que introduce el axioma de elección en la prueba de "libre implica proyectiva".

Por lo que he entendido de Drinfeld de la conferencia, sólo (1) y (3) son necesarios para las aplicaciones y para el desarrollo de álgebra homológica, y (2) no es deseable porque es demasiado fuerte una condición cuando se trabaja con infinitas dimensiones paquetes. Propuso "plana y Mittag-Leffler" directamente, o una variante menor de la que, como una definición de lo que él llamó "projectivity con rostro humano", que iba a funcionar sin problemas en las aplicaciones existentes y permitir una razonable generalización para el caso de infinitas dimensiones.

Además, (1) y (3) son definibles en la lógica de primer orden, por lo que hay menos posibilidad de que el conjunto teórico de los problemas de cuantificación más grandes o complicadas estructuras.

78voto

denny Puntos 1071

Si X es un compacto Hausdorff espacio, y f es un álgebra de homomorphism de C(X) para algunos Álgebra de Banach, f debe ser continua?

Esta pregunta resulta ser independiente. La respuesta afirmativa se conoce como Kaplansky de la Conjetura.

66voto

thedeeno Puntos 12553

"No es definible por el buen orden de los números reales."

A pesar de que muchos matemáticos simplemente creo que esta afirmación es cierta, en realidad, es independiente de ZFC. En Goedel del universo construible L, por ejemplo, hay un definibles por el buen orden de los reales, teniendo complejidad Delta^1_2 en el descriptivo de conjunto de la teoría de la jerarquía. Es decir, el buen orden es un subconjunto del plano RxR, y es la proyección de la dotación de la proyección de un conjunto de Borel (y, simultáneamente, el complemento de otro conjunto).

La idea de que las órdenes de los reales no puede en principio ser descrito o construido simplemente no es correcto.

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