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¿Cualquier entero sólo se producen en un primitivo terna Pitagórica?

Sé que todos los números enteros son parte de al menos uno de los primitivos triple. Pero esta declaración puede ser refinado para exactamente ? Mirando en algunas listas de triples parece ser cierto, pero no tengo ni idea de donde me gustaría empezar en la muestra.

Actualización: no estoy seguro de lo que la etiqueta es con respecto a la realidad cambiante del todo la pregunta... esperemos que esto esté bien. Me di cuenta de que en realidad estoy interesado en saber si alguno de los números de actuar como el más pequeño número en más de primitivas triplete.

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Julian Knight Puntos 121

Sí, un número puede aparecer como el valor más pequeño en dos distintas primitivas triples. Por ejemplo, $(57, 176, 185)$$(57, 1624, 1625)$.

De hecho, elige cualquiera de los dos enteros positivos primos relativos $p$ $q$ $q+1 < p < q(1+\sqrt{2})$ y tener enfrente de la paridad. A continuación,$p^2-q^2 < 2pq$, e $(a,b,c)=(p^2-q^2, 2pq, p^2+q^2)$ es una primitiva de triple. Otro de los primitivos triple con $a$ como el elemento más pequeño puede ser derivada a partir de los generadores $r=\frac{a+1}{2}, s=\frac{a-1}{2}$: $$(r^2-s^2, 2rs, r^2+s^2) = \left(a,\frac{a^2-1}{2}, \frac{a^2+1}{2}\right).$$

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carmichael561 Puntos 444

El ejemplo $(3,4,5)$ $(5,12,13)$ muestra que algunos enteros positivos pueden aparecer en más de una primitiva triple.

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user299698 Puntos 96

Existen enteros que son en más de un primitivo triple. Por ejemplo, $5$ se produce en $(3,4,5)$$(5,12,13)$. El número de $65$ se produce en $(33,56,65)$, $(65,72,97)$ y $(63,16,65)$.

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Hurkyl Puntos 57397

Cualquier factorización del término en $2rs$ $r,s$ relativamente primer da un triple con ese término. Por ejemplo, tome $rs = 2\cdot3\cdot5$ y se obtienen dos triples

$$(6^2 - 5^2, 60, 6^2 + 5^2) = (11, 60, 61) $$ $$(10^2 - 3^2, 60, 10^2 + 3^2) = (91, 60, 109) $$ $$(15^2 - 2^2, 60, 15^2 + 2^2) = (221, 60, 229) $$

Más generalmente, si tomamos $rs = 2\cdot3\cdot n$ donde$\gcd(n,6) = 1$$n \neq 1$. A continuación, dos triples, donde incluso término aparece como el más pequeño será

$$ (12n, 4n^2 - 9, 4n^2 + 9) \qquad (12n, 9n^2 - 4, 9n^2 + 4) $$

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user254665 Puntos 4075

Deje $1<n\equiv 1 \pmod 4$ tal que $n=a^2b$ donde cualquier divisor primo (si los hubiera) a $a$ $\equiv 3\pmod 4,$ y cada divisor primo de $b$ $\equiv 1 \pmod 4 ,$ $b>1.$ $n=c^2+d^2$ para algunos co-prime $c,d\in N,$ $c,d$ no pares.

Pero desde $n=2m+1$ $m\in N$ tenemos $n=(m+1)^2-m^2,$ $\gcd (m,m+1)=1.$

Por lo $n$ aparece como uno de los 2 miembros más pequeños en $((m+1)^2-m^2, 2m(m+1), (m+1)^2+m^2)$, y como el miembro más grande en $(|c^2-d^2|,2cd,c^2+d^2).$ Ejemplos: $n=5, c=2,d=1,m=2.$ $n=13, c=3,d=2,m=6.$

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