9 votos

Evaluar $\sum\limits_{k=0}^n(-1)^{n+k}{n\choose k}{ {n+k}\choose n} \frac{1}{k+2}$

Estoy tratando de evaluar la siguiente suma :

$S=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}{n\choose k} {{n+k}\choose n} \frac{1}{k+2}$

que es el mismo que

$\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}{n\choose k} {{n+k}\choose k} \frac{1}{k+2}$

Mi enfoque ha sido hasta ahora objeto la conversión de esta suma a una forma conocida (dado como resultado estándar en las Integrales y series Prudnikov et.al.)

$\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}{n\choose k} {{n+k}\choose k} \frac{1}{k}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$

Pensé en combinar los términos semejantes ${n\choose k} {{n+k}\choose k}$ en las dos series, pero que de nuevo depende de si $n$ es par o impar. Cualquier sugerencia para seguir adelante ?

11voto

Roger Hoover Puntos 56

Hay un truco. El desplazado polinomios de Legendrecumplir $$ Q_n(x)=P_n(2x-1)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}x^k \tag{1}$$ de ahí nuestra suma está dada por $$ S_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\frac{1}{k+2}=\int_{0}^{1}x\, Q_n(x)\,dx \tag{2}$$ y $$\boxed{\quad S_0=\frac{1}{2},\qquad S_1=\frac{1}{6},\qquad S_{n\geq 2}=0\quad}\tag{3} $$ siga de $x=\frac{Q_0(x)+Q_1(x)}{2}$ y la ortogonalidad de las relaciones para los polinomios de Legendre.

7voto

Marko Riedel Puntos 19255

Supongamos que buscamos para evaluar

$$(-1)^n \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n\elegir k} {n+k\elegir k} \frac{1}{k+2}.$$

Este es

$$\frac{(-1)^n}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n+1\elegir k+1} {n+k\elegir k} \frac{k+1}{k+2} \\ = \frac{(-1)^n}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n+1\elegir k+1} {n+k\elegir k} \left(1- \frac{1}{k+2}\right).$$

La primera pieza se

$$\frac{(-1)^n}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n+1\elegir k+1} {n+k\elegir k}$$

y la segunda

$$ \frac{(-1)^n}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n+1\elegir k+1} {n+k\elegir k} \frac{1}{k+2} \\ = \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n+2\elegir k+2} {n+k\elegir k}.$$

Re-escribir la primera pieza como

$$\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k} {n+1\elegir k} {n+k-1\elegir k-1}$$

Introducir

$${n+k-1\elegir k-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{k}} (1+z)^{n+k-1} \; dz.$$

Este se desvanece al$k=0$, por lo que podemos reducir el índice a cero para obtener por la suma

$$\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{n-1} \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\elegir k} (-1)^k \frac{(1+z)^k}{z^k} \; dz \\ = \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{n-1} \left(1-\frac{1+z}{z}\right)^{n+1} \; dz \\ = \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{n-1} \frac{(-1)^{n+1}}{z^{n+1}} \; dz.$$

Esto es $$\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}(-1)^{n+1} [z^n] (1+z)^{n-1} = 0$$

para $n\ge 1$. Para $n=0$ tenemos

$$\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}(-1)^{n+1} [z^0] \frac{1}{1+z} = 1.$$



Re-escribir la segunda pieza de la

$$\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} \sum_{k=2}^{n+2} (-1)^{k} {n+2\elegir k} {n+k-2\elegir k-2}.$$

Introducir

$${n+k-2\elegir k-2} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{k-1}} (1+z)^{n+k-2} \; dz.$$

Este se desvanece al$k=1$$k=0$, por lo que podemos reducir el límite de la suma a cero, consiguiendo para la suma

$$\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} z (1+z)^{n-2} \sum_{k=0}^{n+2} {n+2\elegir k} (-1)^k \frac{(1+z)^k}{z^k} \; dz \\ = \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} z (1+z)^{n-2} \left(1-\frac{1+z}{z}\right)^{n+2} \; dz \\ = \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} z (1+z)^{n-2} \frac{(-1)^{n+2}}{z^{n+2}} \; dz \\ = \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{n-2} \frac{(-1)^{n+2}}{z^{n+1}} \; dz.$$

Esto es $$\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} (-1)^{n+2} [z^n] (1+z)^{n-2} = 0$$

para $n\ge 2.$ $n=0$ tenemos

$$\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} (-1)^{n+2} [z^0] \frac{1}{(1+z)^2} = \frac{1}{2}.$$

Para $n=1$ tenemos

$$\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} (-1)^{n+2} [z^1] \frac{1}{1+z} = - \frac{1}{6}.$$

La recopilación de todo lo que conseguimos $1/2$ $n=0$ $1/6$ $n=1$ y cero en caso contrario.

7voto

Anthony Shaw Puntos 858

$$ \begin{align} &\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}\binom{n}{k}\binom{n+k}{n}\frac1{k+2}\\[6pt] &=\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\left(\frac1{k+1}-\frac1{(k+1)(k+2)}\right)\tag{1}\\[6pt] &=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}\binom{n+1}{k+1}\binom{n+k}{k}\\ &-\frac1{(n+1)(n+2)}\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}\binom{n+2}{k+2}\binom{n+k}{k}\tag{2}\\[6pt] &=\frac{(-1)^n}{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}{n-k}\binom{-n-1}{k}\\ &-\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}\sum_{k=0}^n\binom{n+2}{n-k}\binom{-n-1}{k} \tag{3}\\[6pt] &=\frac{(-1)^n}{n+1}\binom{0}{n}-\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}\binom{1}{n}\tag{4}\\[6pt] &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\left\{\begin{array}{} \frac12&\text{if }n=0\\ \frac16&\text{if }n=1\\ 0&\text{if }n\ge2 \end{array}\right.}\la etiqueta{5} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: $\frac1{k+2}=\frac1{k+1}-\frac1{(k+1)(k+2)}$ y $\binom{n+k}{n}=\binom{n+k}{k}$
$(2)$: $\frac1{k+1}\binom{n}{k}=\frac1{n+1}\binom{n+1}{k+1}$ se aplica una vez a la primera suma y dos veces para la segunda
$(3)$: $\binom{n+j}{k+j}=\binom{n+j}{n-k}$ y $\binom{n+k}{k}=(-1)^k\binom{-n-1}{k}$
$(4)$: Vandermonde la Identidad de
$(5)$: evaluar en$n=0$$n=1$, y para $n\ge2$, $\binom{0}{n}=\binom{1}{n}=0$

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