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Descripción categoría teórica de los números reales

El familiar número de conjuntos de $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ que todos tenemos "naturales construcciones", que indican, por qué son matemáticamente interesante.

Por ejemplo, el equipamiento de $\mathbb{N}$ con la habitual sucessor de la función y la constante $0$, que puede ser descrito como la inicial de $(0,1)$-Álgebra. O, si queremos que sea un aditivo monoid, es la libre monoid en algún punto de set. Desde monoids son algo muy elemental y puede ser descrito puramente categóricamente en muchas formas equivalentes, esto da una idea, ¿por qué teniendo en cuenta los números naturales puede ser interesante.

Ahora el olvidadizo functor $\mathbf{Grupos de}\longrightarrow\mathbf{Monoids}$ ha dejado adjunto envío de $\mathbb{N}$ en el grupo aditivo de los enteros de $\mathbb{Z}$. Por otra parte, $\mathbb{Z}$ es la inicial de anillo. Si una de las preguntas que teniendo en cuenta que los anillos es muy interesante, se podría responder que no son más que monoids en la "natural" de la categoría de abelian grupos con el "natural" producto tensor lo que es una categoría monoidal.

De $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ no es mucho, ya que los racionales son la imagen de $\mathbb{Z}$ en virtud de la izquierda adjunto de la incrustación de $\mathbf{Campos}\longrightarrow\mathbf{Dominios}$.

(Uno podría ir un paso más allá y pasar a los números algebraicos como el campo de la teoría de la finalización de los racionales.)

Mi pregunta ahora es: ¿por Qué consideramos que los reales de $\mathbb{R}$, desde un punto de vista estructural? Es claro para mí (o al menos yo no siento que tengo el derecho de preguntar) que teniendo en cuenta que los números reales en la física, finanzas, etc. es necesario, debido a que proporciona un buen modelo para nuestra realidad.

A mí más bien me pregunto, si hay matemáticos razones por lo que los reales interesante. La única descripción de los números reales por algunos universal de la propiedad de la que soy consciente es que son la de Cauchy-Finalización de los racionales como un espacio métrico -, pero desde la definición de un espacio métrico ya depende de alguna noción de los reales, esto es sólo un truco barato. (Uno podría, por supuesto, definir un espacio métrico como un conjunto $X$, con una función en alguna de archimedian ordenó campo, la satisfacción de los habituales de los axiomas, pero esto es un poco artificial, creo.) También tenga en cuenta que es casi imposible hacer el Álgebra, la Teoría de conjuntos o la Teoría de grafos sin saber lo que los números naturales son, mientras que uno puede demostrar que muchos de los resultados de Álgebra y Topología sin venir a través de los reales.

Espero que usted puede proporcionar algunas ideas, que muestra por qué los números reales considerado como un espacio topológico/campo/grupo/de un conjunto ordenado son interesantes en lo conceptual (es decir, la base de la categoría -) de matemática. Por supuesto, si una de las preguntas que los números reales son interesantes, también se tiene a la pregunta de los números complejos de $\mathbb{C}$ y otros conceptos a partir de estas nociones (como casi todos los de Análisis, topología Diferencial, etc.), así que estoy muy consciente del hecho de que yo no rechazar los números reales como anticuado, incluso en el caso de que no recibo muchas respuestas.

Edit: por supuesto, mi pregunta se basa implícitamente en mi firme creencia de que la matemática interestingness y categórica de interés son equivalentes los conceptos. Según lo sugerido por algunos de los comentarios, me gustaría parafrasear a mi pregunta: ¿Cómo puedo deducir de las propiedades matemáticas de los números reales que son matemáticamente interesante, y por lo tanto que ellos son los óptimos formalización de nuestras nociones de geometría y infenitesimal operaciones?

21voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Creo que no le está solicitando a la pregunta que te quería preguntar. La pregunta que te quería preguntar es algo así como "¿qué tipo de propiedades universales no $\mathbb{R}$ satisfacer?", que es muy diferente de "¿por qué los matemáticos de atención de alrededor de $\mathbb{R}$?" Por supuesto que la respuesta a esa pregunta es el modelo de muchos de los fenómenos de la obvia matemáticos de interés, por ejemplo, ecuaciones diferenciales y colectores.

Aquí hay uno: $\mathbb{R}$ es la terminal de arquímedes campo. (Pero a diferencia del ejemplo de $\mathbb{N}$ no considero esto la última palabra sobre el por qué de los números reales son interesantes. Esto realmente no se explica por qué usamos los números reales para modelar el espacio Euclidiano, por ejemplo).

18voto

alumb Puntos 2586

Una alternativa interesante para la definición de los reales se discutió en la categoría de teoría de la lista de correo de hace muchos años: http://comments.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories/1319

Deje de $S$ ser el anillo de funciones $s: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que la función de dos variables $(m,n) \rightarrow s(m+n) - s(m) - s(n)$ es acotada. Además es el elemento más sabio, y la multiplicación es la composición funcional. Deje que $I$ consisten en la delimitada secuencias. Entonces $\mathbb{R} = S/I$.

Así $S$ incluye estas cosas que son casi, pero no del todo homomorphisms. Esto es un poco sorprendente, ya que la definición aproximada de las cosas (es decir. en realidad aproximada por una cantidad finita, en lugar de infinitesimalmente) y componer les lleva a menudo a que las cosas se ponen mal comportamiento. Así que hay algo especial acerca de $\mathbb{R}$ y su relación con $\mathbb{N}$.

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Jeff Puntos 804

Hay varios topológica de las caracterizaciones del espacio topológico $\mathbb{R}$. Ver MO/76134. Por ejemplo, es el único conectado, conectado localmente separable espacio normal, de tal manera que la eliminación de cualquier punto da dos componentes. En cierta medida esto es exactamente lo que queremos que la continuidad .

Pero la cuestión parece estar orientada más a la algebraica de las caracterizaciones. En este caso, sería bueno dar una caracterización de $\mathbb{R}$, dentro de la categoría de los campos. Este se adapta muy bien a mi pregunta SE/634010 si la categoría de los campos es rígido (aún sin resolver), que permita dar una respuesta categórica la caracterización de cualquier campo. Al menos, tenemos una caracterización de aquellos campos que son de primaria equivalente (es decir, satisfacer las mismas penas que) $\mathbb{R}$. Estos son los verdaderos campos cerrados, que tienen varios puramente algebraica de las caracterizaciones. Una muy corta es que $F$ es real cerrada si $F^{alg} / F$ es una extensión finita.

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ChrisZZ Puntos 367

Hay una caracterización de los reales puramente en términos de su estructura de orden que explica su ubicuidad como un modelo de la física y las matemáticas: una totalmente ordenado, Dedekind conjunto completo que tiene una contables de fin de subconjunto denso, pero no más grande o más pequeña de un elemento. Esta es la base de muchos de los resultados que muestran que los naturales de órdenes que se plantean no son inducidos por un valor real de la función. Este es uno de los problemas centrales de la teoría de la medición y explica cómo se puede tirar de los reales del sombrero de un sistema de axiomas que no contienen el concepto de número de forma explícita. Algunos ejemplos son: la entropía (desde el pedido de "adiabático accesible" en los estados de una termodinámico de la sustancia), la temperatura (más que), de los precios en la economía a partir de la relación "vale más que" (bajo el nombre genérico de "función de utilidad") y, por supuesto, en el sintético del enfoque axiomático geometría euclidiana (utilizando el orden inducido por el "entre" axioma). El punto importante es que estos conceptos en el mundo físico puede ser verificado experimentalmente en el ordinal sentido sin necesidad de recurrir a una escala numérica.

4voto

jmans Puntos 3018

Siguiente Bourbaki, los reales son una terminación de $\mathbb Q$, no como métrica espacios, pero como el uniforme de los espacios. En más detalle, cada espacio métrico es un espacio uniforme, pero no viceversa. El familiar de la construcción de los reales y de métrica terminaciones por medio de secuencias de Cauchy (es decir, el Cantor de la construcción) es más de una métrica de la construcción, a continuación, una construcción uniforme. En particular, no trabajo para arbitrario uniforme de los espacios. Sin embargo, no son las condiciones generales del uniforme de las terminaciones que convierten cualquier espacio uniforme en una completa. Estas construcciones están de acuerdo con la métrica de las terminaciones de curso.

Ahora, olvidándose de cualquier noción de la métrica, el espacio de $\mathbb Q$ con su estándar de la topología de un espacio uniforme. Por lo tanto, como cualquier otro espacio, tiene una terminación. Que la realización es de $\mathbb R$. Visto de esta manera, $\mathbb R$ es una terminación igual que cualquier otra terminación de cualquier otro espacio uniforme. Para mí, esto hace que la construcción de los reales parecen más uniforme, y tal vez este punto de vista se refiere a su pregunta.

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