32 votos

Asesinato en el Hotel de Hilbert!

Lo siento si esto es un duplicado en cualquier forma. Me cabe duda de que es una pregunta original. Debido a mi ignorancia, es difícil para mí a la búsqueda de las cosas.

Motivación.

Esta pregunta está inspirada por el Ejercicio 1.2.16 de estos lógica de notas por S. G. Simpson. Aquí es una versión abreviada de que el ejercicio de conveniencia.

Brown, Jones y Smith son sospechosos de un crimen. Declarar de la siguiente manera:

Brown: Jones es culpable y Smith es inocente.

Jones: Si Brown es culpable lo es Smith.

Smith: soy inocente, pero al menos uno de los otros es culpable.

a) Son los tres testimonios coherentes?

b) El testimonio de uno de los sospechosos de la siguiente manera de la de otra. Que de que?

c) Asumir que todo el mundo es inocente, que cometió perjurio?

d) Suponiendo que todo testimonio es verdadero, quién es inocente y quién es culpable?

e) Suponiendo que el inocente le dijo la verdad y los culpables decía mentiras, quién es inocente y quién es culpable?

Me gusta desafiar a tus amigos y familiares con problemas similares. Es divertido hacer escenarios y las soluciones son bastante fácil para aquellos que están familiarizados con los básicos de la lógica matemática. Puedo variar los testimonios, el número de sospechosos, las preguntas acerca de los testimonios, etc.; es lo bueno.

Últimamente, sin embargo, me he preguntado ¿qué significaría tener (al menos countably) infinitamente muchos sospechosos. Para hacer el problema manejable los testimonios se necesita algún tipo de regla de definición y la pregunta debería ocuparse de grupos apropiados de los sospechosos.

La Pregunta.

Con esto en mente, aquí está mi escenario.

En la mañana de la primera noche en el hotel de Hilbert, cuando todas las habitaciones fueron tomadas, la recepcionista fue encontrado muerto en su escritorio; se veía extremadamente sospechoso. Fue asesinado? La policía entrevistó a todos los inquilinos y el personal, y concluyó que el personal no podía haber sido implicados en la muerte. Sin embargo, los inquilinos se habían algunas interesantes testimonios que ascendió a la siguiente.

$[\dots ]$

Bien, así que me he dado a esto algún pensamiento y sospecho que el conjunto original es al menos similar a la de dejar que $$\begin{align} \text{Marrón}&\mapsto [1]_3:=\{n\in\mathbb{N}\mediados n\cong 1\pmod{3}\}, \\ \text{Jones}&\mapsto [2]_3, \\ \text{Smith}&\mapsto [3]_3, \end{align}$$ donde cada número $$ n representa el inquilino de la Habitación $n$, entonces el cambio de los testimonios en consecuencia. (Se los dejo como ejercicio para el lector (¡ja!): esto es demasiado tiempo ya.)

Inmediatamente, me recuerda la noción de presentaciones y libertad. El de arriba huele a una presentación (o tal vez algún tipo de homomorphism). Supongo que mi principal montón de preguntas aquí son:

¿Qué es esta cosa? Lo mejor, de manera más formal de describir las matemáticas detrás de este escenario? ¿Qué cosas similares se han hecho antes?

La razón por la que he incluido los (número teoría) de la etiqueta es que tengo curiosidad por ahora en cuanto a lo que el número teórico de problemas, si los hay, puede ser formulada de esta manera. (¿Tiene esto algún sentido?)

Pensamientos y Aclaración.

Esto se basa en los comentarios.

Es más acerca de los mapas entre el infinito y lo finito de los casos.

Una respuesta detallada incluiría una descripción matemática de lo que el caso infinito es, una descripción matemática de cómo la infinita caso se refiere a lo finito de los casos, los detalles sobre lo que las cosas similares se han hecho antes, y tal vez un número teórico de problema enunciado con la anterior.

Uno tiene que tomar en cuenta las negaciones en el caso infinito de tal manera que la estructura de las finito dado caso se conserva.

Sospecho que son sólo diferentes modelos de la misma teoría, donde el caso infinito es, en cierto sentido, "libre"; que los mapas como el dado de arriba son de alguna manera relacionado con la noción de una presentación; y que al menos algunos trivial Número de problemas de la Teoría puede ser declarada de esta manera.

:)

4voto

celtschk Puntos 13058

Bien, echemos un vistazo a la estructura del problema:

Hay un conjunto $S$ de los sospechosos (tres en el problema original, un countably número infinito de ellos en el hotel de Hilbert).

Hay un subgrupo de $G\subconjunto S$ de culpabilidad de los sospechosos.

Y hay una asignación de $f:S\to P(S)$ donde $P(S)$ es el poder de set (conjunto de subconjuntos) de $S$, donde $M\in f(s)$ significa que "Si $s$ dice la verdad, es posible que $G=M$". $f(s)$ es indicado por una forma lógica de $L_s$, es decir, $f(s) = \{M\de P(S): L_s(M)\}$.

Ahora podemos formular las preguntas de la siguiente manera:

a) Es de $\bigcap_{s\in S} f(s) \ne \emptyset$?

b) Para los pares de $(s,t)\S\times S$ tenemos $f(s)\subseteq f(t)$?

c) Suponiendo que $G=\emptyset$, lo que es $\{s\in S: G\noen f(s)\}$?

d) ¿Cuál es $\bigcap_{s\in S} f(s)$? (En realidad, la pregunta formulada ya se supone que este juego tiene exactamente un elemento; en particular, se asume que la respuesta a (a) es "sí").

e) ¿Cuál es $\bigcap_{s\in G} (P(S)\setminus f(s)) \cap \bigcup_{s\in S\setminus G} f(s)$?

Para generalizar el problema de Hilbert hotel, usted tiene que encontrar una función $f(n)$ especificado por una fórmula lógica dependiente de $n$ tal que $\bigcap_{s\n} f(n)$ tiene exactamente un elemento, y (para ser una generalización del problema original) reduce al problema original cuando restringidas para el conjunto $\{0,1,2\}$

Veamos más de cerca el original testimonios:

  • Brown da una lista explícita de quién es culpable o inocente.
  • Jones le da una implicación de conectar los otros dos.
  • Smith hace un testimonio acerca de sí mismo, y la afirmación de que alguien es culpable.

Asociando $0$ Morena, $1$ con Jones y $2$ con Smith, podríamos escribir los siguiente en el formalismo de la derivada de la anterior, con $S=\{1,2,3\}$ $$\begin{align} f(0) &= \{M\de P(S): 1 \M \de la tierra 2\noen M\}\\ f(1) &= \{M\de P(S): 0 \M \implica 2\en M\}\\ f(2) &= \{M\de P(S): 2 \noen S \de la tierra M\ne\emptyset\} \end{align}$$

Por supuesto, hay muchas maneras de generalizar, pero vamos a tratar el siguiente: $$f(n) = \begin{casos} \{M\en P(\mathbb N): \forall m > n, m\M\ffi m \equiv 1\ (\mod 2)\} & n \equiv 0\ (\mod 3)\\ \{M\en P(\mathbb N): \forall i < n, \forall k > n, m\M\implica k\in M\} & n \equiv 1\ (\mod 3)\\ \{M\en P(\mathbb N): n\noen M\de la tierra M\ne\emptyset\} & n\equiv 2\ (\mod 3) \end{casos}$$ Sin embargo esto le da un incoherente conjunto de condiciones (es decir, $\bigcup_{n\in\mathbb N} f(n)=\emptyset$), ya que, a partir de $f(0)$, uno llega a la conclusión de $5\in G$, pero a partir de $f(5)$ uno llega a la conclusión de $5\noen G$. Esta es una desviación de la original el problema en el que las declaraciones son consistentes.

No me voy a gastar el tiempo para encontrar una adecuada generalización ahora (ya he pasado mucho más tiempo en esta respuesta de lo previsto inicialmente), pero creo que los conceptos matemáticos involucrados ahora debe ser claro.

2voto

ksun Puntos 103

Me suena como que usted está preguntando acerca de Infinitary lógica. He reflexionado sobre esta idea de mí mismo un poco justo. Por ejemplo, podemos hacer que el sentido de la 'limitar' objeto de esta secuencia $$ a_1 \wedge a_2, (a_1 \wedge a_2) \wedge a_3, (((a_1 \wedge a_2) \wedge a_3) \wedge a_4$$ donde $\wedge $ denota y lógico. En este caso, el límite de objeto tiene un valor de true si y sólo si cada $ a_n $ es true, en caso contrario es falsa. Pero, ¿y si reemplazar a aquellos y con la implicación lógica, $\Rightarrow $?

0voto

Reto Meier Puntos 55904

No creo que esta pregunta no tiene nada que ver con el infinito, o la teoría de números.

Despojado de todo el sabor de texto, usted tiene tres oraciones acerca de los tres estados lógicos:

  1. J y no S

  2. Si B, entonces S

  3. (No S) y (J o B)

Usted podría reemplazar a J,B,S con ningún tipo de instrucción lógica, tales como "Jones es culpable" o "va a llover el jueves" o "El snark es un cirio" o "Cada huésped del hotel con una habitación número divisible por tres, es culpable". Pueden implicar la participación de conjuntos finitos, o conjuntos infinitos, o criaturas míticas, o el clima. No afecta a la lógica del rompecabezas de cualquier manera.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X