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¿Cuál es la cardinalidad de un conjunto de todas las funciones monótonas en un segmento de $[0,1]$?

¿Cuál es la cardinalidad de un conjunto de todas las funciones monótonas en un segmento de $[0,1]$?

¿Realmente importa de que las funciones monótonas?

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DiGi Puntos1925

Hay $(2^\omega)^\omega = 2^\omega = \mathfrak{c}$ maneras de elegir los valores de la función en los racionales en $[0,1]$. Supongamos que $f$ es una monotonía de la función en $\mathbb{Q}\cap [0,1]$. Para cada uno de los irracionales $x\in [0,1]$ vamos $$f^-(x) = \sup_{q\in\mathbb{Q}\cap[0,x)}f(q)$$ and $$f^+(x) = \inf_{q\in\mathbb{Q}\cap(x,1]}f(q).$$ Since $f$ is monotone, the intervals $(f^-(x),f^+(x))$ are pairwise disjoint, and therefore only countable many of them can be non-empty. When $(f^-(x),f^+(x))=\varnothing$, $f^-(x)=f^+(x)$, and the only way to define $f(x)$ that preserves monotonicity is $f(x) = f^(x) = f^+(x)$. Only the non-empty intervals $(f^(x),f^+(x))$ permit any choice of values of $f(x)$. There are only countably many such intervals, and each permits $2^\omega = \mathfrak{c}$ choices for $f(x)$ preserving monotonicity of $f$, so $f$ can be extended in $(2^\omega)^\omega = 2^\omega = \mathfrak{c}$ ways to a monotone function on $[0,1]$. Thus, there are altogether $2^\omega \cdot 2^\omega = 2^\omega = \mathfrak{c}$ monotone functions on $[0,1]$.

La monotonía no importa, porque hay un total $(2^\omega)^{2^\omega}=2^{\omega\cdot 2^\omega} = 2^{2^\omega} = 2^\mathfrak{c}$ funciones $[0,1]$, e $2^\mathfrak{c}>\mathfrak{c}$.

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