10 votos

Optimización del área de una cruz inscrita en un círculo

Me he estado rascando la cabeza con este problema de optimización. "Considere una cruz simétrica inscrita en un círculo de radio $r$ ." La longitud desde el centro de la cruz hasta la mitad de uno de sus brazos es $x$ . Además, el ángulo entre dos segmentos de línea trazados desde el centro de la cruz hasta los vértices de uno de sus brazos tiene una medida de $ \theta $ . Aquí hay un diagrama:

A diagram of the situation: a cross inscribed in a circle.

El problema tiene tres partes: "a) Escribir el área $A$ de la cruz en función de $x$ y encontrar el valor de $x$ que maximiza el área. b) Escriba el área $A$ de la cruz en función de $ \theta $ y encontrar el valor de $ \theta $ que maximiza el área. c) Demostrar que los números críticos de las partes a) y b) dan la misma superficie máxima. ¿Cuál es esa área?"

Así que, déjame mostrarte lo que he hecho hasta ahora. En la parte (a), decidí dividir la cruz en dos rectángulos centrales y dos rectángulos laterales. Vi que un rectángulo central (del centro a la parte superior) tendría un área de

$$x \cdot 2 \sqrt {r^2 - x^2}$$

usando el teorema de Pitágoras. Calculé que un rectángulo lateral (el área restante a la derecha, adyacente a los rectángulos centrales) tendría un área de

$$2 \sqrt {r^2-x^2} \cdot \left ( x - \sqrt {r^2 - x^2} \right ) .$$

Así que, el área de la cruz es

$$A = 2 \bigg ( x \cdot 2 \sqrt {r^2 - x^2} + 2 \sqrt {r^2 - x^2} \cdot \Big ( x - \sqrt {r^2 - x^2} \Big ) \bigg ) = 8x \sqrt {r^2 - x^2} - 4r^2 + 4x^2 .$$

Si mis matemáticas están ahí (dedos cruzados), entonces tomaré la primera derivada para localizar un máximo.

$$A^ \prime = 8 \sqrt {r^2 - x^2} + 8x \left ( 1 \over 2 \right ) \left ( r^2 - x^2 \right )^{- {1 \over 2}} \left ( -2x \right ) + 8x.$$

Estaba un poco inseguro sobre qué hacer en este momento. Conecté el $A^ \prime $ en mi calculadora gráfica, sustituyendo $1^2$ para $r^2$ (para un radio de $1$ ). El gráfico cruza el $x$ -eje en $x \approx 0.85$ . Sustituye a $2^2$ para $r^2$ (para un radio de $2$ ) me da $x \approx 1.70$ . De esto, concluí que

$$A^ \prime = 0 \; \mathbf {at} \; x \approx 0.85r.$$

Análisis de los gráficos de $A$ para varios valores de $r$ concluye que, de hecho, los máximos aparecen en $x \approx 0.85r$ . Por lo tanto, tengo la función $A$ en términos de $x$ pero tengo curiosidad: ¿Cuál debería ser mi respuesta final para la segunda parte de (a)? Todo lo que tengo es $x \approx 0.85r$ . ¿Es una respuesta suficiente?

En cuanto a la parte (b), realmente no tengo ni idea de cómo escribir $A$ en términos de $ \theta $ . Sé que $ \text {area} = {1 \over 2} b \cdot c \cdot \sin A$ para los triángulos, pero Realmente necesito ayuda para escribir el área de esta cruz en términos de $ \theta $ .

La parte (c) debería ser bastante fácil una vez que termine la (b).

Si llegas al final de esto, te agradezco sinceramente que leas, y realmente apreciaría una respuesta (y cualquier corrección a mis matemáticas). Gracias.

0 votos

Se puede simplificar la fórmula para $A'$ si se pone a cero y se multiplica por $\sqrt{1-x^2}$ (con $r=1$ ). De esta manera se obtiene $0=1-2x^2+8x\sqrt{1-x^2}$ . Esto sigue siendo complicado, pero podría intentar una expansión a medida hasta que $x^2$ para simplificar aún más.

1 votos

@Konstantin I computado $x\sqrt{1-x^2}=2x^2-1$ . Eleva al cuadrado ambos lados y tendrás una cuadrática en $x^2$ . Las soluciones son $x^2={1\over2}\pm{\sqrt5\over10}$ .

0 votos

@DavidMitra aww gracias

5voto

Oli Puntos 89

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el radio es $1$ Podemos escalar el área por $r^2$ más tarde.

Según la fórmula que has citado, el área del triángulo delimitado por las dos líneas que forman el ángulo $\theta$ es $\frac{1}{2}\sin\theta$ . Por lo tanto, el área cubierta por uno de los dos brazos completos de la cruz es $4$ veces esto, que es $2\sin\theta$ .

Duplique esto para obtener el suma $4\sin\theta$ de las zonas cubiertas por los dos brazos completos. Por desgracia, esta suma cuenta dos veces el área del cuadrado del medio. Así que tendremos que restar el área de ese cuadrado.

Obsérvese que, por trigonometría, el segmento horizontal de la parte superior de la cruz tiene una longitud $2\sin(\theta/2)$ . Por lo tanto, el cuadrado del medio tiene un área $4\sin^2(\theta/2)$ . Utilizando la identidad trigonométrica $\cos 2\phi=1-2\sin^2\phi$ encontramos que el cuadrado del medio tiene un área $2-2\cos \theta$ .

Así que el área de la cruz es $4\sin\theta +2\cos\theta-2$ . Maximizar debería ser sencillo.

Observaciones: $1.$ Realmente no necesitamos el cálculo. Mira el problema equivalente de maximizar $4\sin2\theta+2\cos\theta$ . Reescribe esto como $$2\sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\sin \theta+\frac{1}{\sqrt{5}}\cos\theta\right),$$ y que $\psi$ sea el ángulo cuyo coseno es $2/\sqrt{5}$ y cuyo seno es $1/\sqrt{5}$ . Entonces nuestra expresión se convierte en $2\sqrt{5}\sin(\theta+\psi)$ . El valor máximo posible de la función seno es $1$ . Por lo tanto, la superficie máxima es $2\sqrt{5}-2$ .

$2.$ Podemos utilizar el cálculo anterior para responder a su pregunta sobre $x$ . Alternativamente, se puede establecer la derivada igual a $0$ como tú. La manipulación producirá una expresión explícita para la raíz.

$3.$ En un momento dado, usted estaba maximizando $8x\sqrt{r^2-x^2}-4r^2+4x^2$ . Dejemos que $x=r\sin t$ . Queremos maximizar $8r^2\sin t\cos t-4r^2+4r^2\sin^2 t$ . Olvídate de la $r^2$ parte, es un multiplicador constante. Ahora simplifica a $8\sin t\cos t-4\cos^2 t$ diferenciar. (Utilizar las identidades angulares dobles para simplificar primero es una buena idea.) Podemos pensar que esto es sólo un dispositivo técnico para asegurar que terminamos con una ecuación simple.

0 votos

¿Podría mostrarme cómo $\sqrt{2 - 2\cos\theta} = 2\sin(\theta/2)$ ?

1 votos

Recordemos la identidad trigonométrica $\cos 2t=2\cos^2 t-1=1-2\sin^2 t$ . Reescribir como $2\sin^2 t=1-\cos 2t$ . Doble. Conseguir $4\sin^2 t=2-2\cos 2t$ . Por último, dejemos que $t=\theta/2$ .

0 votos

¡Muchas gracias! Me ha costado un poco, pero ya lo tengo todo resuelto. No puedo agradecerles lo suficiente :)

1voto

P P Puntos 41

Estoy tratando de resolver el mismo problema, y llegué a las mismas concusiones. El caso es que si graficas la función obtienes esto..:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=8+x+sqrt%281-x%5E2%29-4+%281-x%5E2%29&lk=1&a=ClashPrefs_ *Mate-

como puedes ver, la gráfica toma valores negativos cuando x se hace más pequeña, pero si la función representa el área de la cruz, ¿cómo es que esa área es negativa?

Incluso hice un pequeño programa para probar esto, aquí está: http://www.khanacademy.org/cs/calculus-maxarea-circle-v00x/1512261081

¿alguien tiene una idea de lo que está pasando?

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X