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¿Cuál es la diferencia entre las Categorías y las Relaciones?

Para una base común, voy a estado de definiciones básicas de una categoría y el tipo de relación que yo estoy pensando. Ellos están aquí para una rápida claridad, no de precisión, así que siéntase libre de revisar una respuesta.

Categoría:
Una colección de objetos, una colección de flechas cada uno con un origen y destino entre dichas objetos, identidad flechas, y una composición operador de satisfacciones asociativa de la ley sobre las flechas.

Reflexiva de la relación en AxA:
Una colección de objetos, un etiquetado multi-conjunto de pares de dichos objetos de satisfacción de los reflexiva de la ley, y la norma en relación combinador de operación (que se cumple la ley asociativa).
Tenga en cuenta que etiquetadas multi-conjunto de relaciones se expresan comúnmente utilizado y en la matemática discreta como multi-gráficos. Me colapso de los gráficos y de las relaciones aquí para unificada axiomática de tratamiento. Esto no es para tratar, por ejemplo, las rutas de acceso de los gráficos tan diferente de la relación de composición.

¿Qué es, exactamente, lo que separa a estos dos? Aparecen esencialmente idénticos en la definición y significado para mí. Las relaciones parecen más general, dado que las categorías sólo una analogía a una cierta clase restringida de las relaciones.
Tomo nota de algunos de los métodos de representación de la diferencia, como la forma en categorías nombre de cada flecha; no veo la manera de que iba a cambiar matemática poder. De igual manera, con el tratamiento explícito de la composición. Mientras que tales invenciones pueden venir muy bien para ciertas pruebas o exploraciones, no veo cómo se justifica el tratamiento de las dos ramas separadas en lugar de sintáctica cuñas en conceptos idénticos.

[EDITA: fija la asociatividad declaración ampliada de las relaciones de multi-set representación gráfica analogía]

12voto

KP. Puntos 1177

Qiaochu es correcto: las categorías son mucho más general. Permítanme dar un ejemplo concreto que, aunque en un sentido trivial, puede ilustrar la forma en que mucho más que usted podría obtener de una categoría que se puede partir de una reflexiva y transitiva de la relación.

Considerar los enteros positivos $\mathbb P$. El habitual orden total $\leqslant$ es una perfectamente buena reflexiva, transitiva de la relación en este conjunto. Podemos pensar en esto como una categoría que consiste en el mapa de identidad $\mathrm{id}_n$ en cada entero n ∈ $\mathbb P$, y la composición del sucesor de mapas de $\sigma_n: n \to n+1$. El resultado es, esencialmente, un casi grafo dirigido acíclico (todos los circuitos son estacionarias paseos en un solo vértice).

Ahora, permítanme describir a una categoría diferente en los enteros positivos: la categoría de lineal inyectiva mapas finito-dimensional real de espacios vectoriales — es decir, la categoría cuyos objetos son los enteros positivos, y cuyas flechas son de m × n matrices de más de $\mathbb R$, con rango n, mn.

De un lado. "Qué!?" usted puede exclamar: "¿Cómo puede usted hablar de matrices que tengan dominios y codomains que consiste en los enteros positivos?" Así, la forma de cada matriz se define qué tipo de matrices puede ser compuesto, y cualquier acción de una matriz M en un vector v ∈ $\mathbb R^n$ podría ser visto como componer la m × n matriz M con el n × 1 de la matriz v a obtener una m × 1 de la matriz Mv. Los números enteros en la dimensión del espacio vectorial $\mathbb R^n$ o $\mathbb R^m$, que es el "real" de dominio y codominio de la matriz; y porque podemos sustituir el lineal de la actuación de los operadores en $\mathbb R^n$ con el efecto de componer dos operadores lineales (uno de los cuales pasa a tener un dominio de $\mathbb R^1$), podemos ignorar la estructura en el interior de los espacios vectoriales y se refieren a ellos sólo por sus dimensiones.

Como con el grafo dirigido generado por el total de la orden ≤, existen flechas mn para cualquier mn (por definición). Todos los mapas de n para m , para m > n+1 puede obtenerse mediante la composición de mapas nn+1 y n+1 → m; y además, todos los mapas nn+1 puede obtenerse mediante la composición de una sola designado mapa de $\sigma_n: n \to n+1$ con un adecuado mapa de $\tau: n \to n$. Por lo que esta categoría tiene un número de cosas en común con la definida por el total de la orden ≤. Pero hay diferencias importantes, debido en parte al hecho de que hay infinitamente mapas nn para cada n. Debido a esto, esta segunda categoría tiene mucho más la estructura de una relación binaria.

Por ejemplo, se torna significativo e interesante para hablar de co-productos.

Definición. Vamos a,B dos objetos. Un subproducto de Un y B es un objeto (Un $\amalg$ B), junto con dos mapas yoUna : Un → (Un $\amalg$ B) y iB : B → (Un $\amalg$ B) tal que, para cualquier otro objeto X y mapas de f : UnX y g : BX, existe un único mapa (f | g) : (Un $\amalg$ B) → X tal que f = (f | g) $\circ$ iUna y g = (f | g) $\circ$ iB . Es decir, en el diagrama siguiente, cualquiera de los dos dirigidos camina entre una pareja común de puntos representan el mismo mapa:

$\begin{matrix} \qquad\! A \!\!&\!\! \xrightarrow{\textstyle \;i_A\;} \!\!&\!\! (A \amalg B) \!\!&\!\! \xleftarrow{\textstyle \;i_B\;} \!\!&\!\! B \!\qquad \\ \mathrm{id_A}\Bigg\updownarrow & & \Bigg\downarrow(f|g)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!& &\Bigg\updownarrow\mathrm{id_B} \\ \qquad\! A \!\!&\!\! \xrightarrow[\textstyle \quad f \quad] \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\! X \!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \xleftarrow[\textstyle \quad g \quad] \!\!&\!\! B\!\qquad \end{de la matriz}$

  1. En el caso de la orden parcial ≤, el subproducto de Un y B es sólo max { a, B } , el cual debe comprobar por ti mismo.
  2. En la categoría de las matrices que se describió anteriormente, el subproducto de Un y B no es la máxima de Un y B, sino que es el entero Un+B, correspondiente a la división de un vector de dimensión de Un+B en un bloque de tamaño de Una y de un bloque de tamaño B.

    • La "inclusión" mapa de $i_A$ correspondería a la asignación de un vector v ∈ $\mathbb R^A$ en la primera Una coeficientes de un vector en $\mathbb R^{A+B}$, con los demás a cero;
    • La "inclusión" mapa de $i_B$ sería similar, la asignación de vectores en $\mathbb R^B$ en la final Bde los coeficientes.
    • Para las funciones f: UnUn+B y g: BUn+B, el mapa (f | g) corresponde a la realización de la mapa f para el primer bloque y g para el segundo bloque del vector.

    Por supuesto, no hay más que una manera de descomponer $\mathbb R^{A+B}$ en los bloques; podríamos haber elegido una definición diferente para los mapas yoUna y iB, por tener iB mapa de vectores en $\mathbb R^B$ en la primera B los coeficientes, y yoUn mapa de vectores en el final de Una coeficientes. Esta manera de incrustar $\mathbb R^A$ $\mathbb R^B$ en el mismo espacio, al mismo tiempo, es equivalente a la que describimos anteriormente; de hecho, podemos mostrar que no hay un único isomorfismo entre estas dos formas de construir (Un $\amalg$ B). Así, el subproducto (Un $\amalg$ B) depende de la elección de los mapas yoUna y meB — pero no de cualquier manera que es realmente importante.

Aunque la primera categoría generados por ≤ es lo que usted consigue cuando usted se olvida de la estructura de la matriz de la segunda categoría, mediante la sustitución de cada colección infinita de flechas en cada caso con una sola flecha entre los mismos puntos que la segunda categoría de la inyectiva lineal de operadores es sustancialmente diferente de la simple descrita por ≤.

Esto es sólo arañando la superficie de las uñas de la categoría de la teoría; pero espero que te convence de que las categorías y reflexiva, transitiva binario relaciones no son trivialmente equivalente.

10voto

YequalsX Puntos 320

Dirigido multigraph puede ser pensado como una dimensión simplicial complejo: los vértices son los puntos, y los bordes son de 1-simplices.

Dada una categoría, podemos formar el nervio, y el 1-esqueleto será esencialmente una multi-graph.

La observación de la OP es que estas dos construcciones son aproximadamente el inverso uno del otro.

La relación entre simplicial y conjuntos de categorías es uno de los más importantes, y está en la base de la teoría de categorías superiores y su relación con homotopy teoría. Por lo tanto el OP de la observación y la pregunta no debería ser descartada.

Por otro lado, no estoy seguro de que estoy de acuerdo con el sentimiento de la OP final no entre paréntesis la frase: "No veo cómo se justifica el tratamiento de las dos ramas separadas en lugar de sintáctica cuñas en conceptos idénticos." Sin duda (multi)grafo teóricos y (superior)categoría/homotopy teóricos de tanto hacer itensive estudios de 1-dimensional simplicial conjuntos, pero las preguntas que hacen y las construcciones que se ocupan son normalmente muy diferentes. Si encuentran un terreno común, que es genial, pero ellos no tienen que ser obligados a buscar.

La mayoría de los matemáticos utilizando categorías son, además, no pensar en homotopical/simplicial en absoluto acerca de las estructuras implicadas, pero estamos tomando ventaja de la muy útil lengua y la gama de conceptos que la categoría de la teoría proporciona. Estos son los conceptos que (que yo sepa) no son utilizados por todos aquellos que estudian multi-gráficos y estructuras relacionadas, y por lo tanto no veo ninguna razón por la que las personas deben ser obligadas o incluso se anima a traducir (lo que para ellos son familiares de la categoría de la teoría de las nociones en una diferente terminología marco de relaciones/multi-gráficos.

[Añadido: Ryan Budney del comentario anterior hace esencialmente en el mismo punto en un pithier de la moda.]

1voto

Lehs Puntos 3591

Este es un ejemplo de que los axiomas de una teoría no dice mucho de las intenciones con la teoría. El propósito de la relación nunca ha sido para el estudio de propiedades universales, por ejemplo.

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