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$\pi + e$ es racional o $\pi-e$ es racional

Se me pidió para encontrar el valor de verdad de la declaración:

$$ \pi + e \; \text{ es racional o } \pi - e\; \text{ es racional } $$

Yo soy sólo se permite usar el hecho de que $\pi, e $ son números irracionales y no se puede utilizar la teoría trascendental de los números.

No puede continuar. cualquier ayuda se agradece.

13voto

Jeff Puntos804

Esto parece ser un problema abierto. Es una conjetura de que la afirmación es falsa, es decir, que $\pi + e$ $\pi - e$ son irracionales. Según Wikipedia, este sigue sin demostrarse. (Imagínense el impacto del descubrimiento de una ecuación como: $\pi=e+\frac{4233108252.........3123782}{31238295213.......0591231}$ ... increíble!)

La observación de que al menos uno de esos números es irracional, incluso trascendental (pero esto no prueba que ambos son irracionales!). Porque si tanto sería algebraicas, entonces su suma sería algebraica, que es $2 \pi$, una contradicción. Aviso que este argumento no es constructivo en todo, y otra vez que no decide si "$\pi+e$ es racional o $\pi-e$ es racional" es falso o no, esto solo demuestra que la declaración más fuerte "$\pi+e$ es racional y $\pi-e$ es racional" es falsa.

8voto

pete Puntos1

$2\sqrt2$ $\sqrt2$ dos números irracionales s.t. la declaración: '$2\sqrt2+\sqrt2$ es racional o $2\sqrt2-\sqrt2$ es racional" no es cierto.

$\sqrt2$ $2-\sqrt2$ dos números irracionales s.t. la declaración: '$\sqrt2+(2-\sqrt2)$ es racional o $\sqrt2-(2-\sqrt2)$ es racional' es verdadera.

Esto ilustra que la declaración no puede ser probada, basada únicamente en el hecho de que $\pi$ $e$ son irracionales.

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