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Ejemplo de un conjunto no abierto ni cerrado

Necesito un ejemplo muy simple de un conjunto de números reales (si los hay) que no esté ni cerrado ni abierto. Y también, una explicación muy corta y simple de por qué no está ni cerrado ni abierto.
¡Gracias!

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user27515 Puntos 214

$[0,1)$

No está abierto porque no hay $\epsilon > 0$ tal que $(0-\epsilon,0+\epsilon) \subseteq [0,1)$ .

No está cerrado porque $1$ es un punto límite del conjunto que no está contenido en él.

0 votos

Una última pregunta, ¿el conjunto tiene que ser conectado? por ejemplo:- [1,2]U[3,4] ... ¿qué podemos decir de este conjunto?

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@MonkeyD.Luffy Una unión finita de conjuntos cerrados es cerrada, una intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada. La Ley de DeMorgan te da las afirmaciones análogas para conjuntos abiertos.

22voto

zrr Puntos 709

Para un ejemplo un poco más exótico, los racionales, $\mathbb{Q}$ .

No son abiertos porque cualquier intervalo sobre un punto racional $r$ , $(r-\epsilon,r+\epsilon)$ contiene un punto irracional.

No son cerradas porque cada punto irracional es el límite de una secuencia de puntos racionales. Si $s$ es irracional, considere la secuencia $\left\{ \dfrac{\lfloor10^n s\rfloor}{10^n} \right\}.$

15voto

Martin Espinoza Puntos 31

Dejemos que $A = \{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\}$ .

$A$ no está cerrado ya que $0$ es un punto límite de $A$ pero $0 \notin A$ .

$A$ no es abierto ya que toda bola alrededor de cualquier punto contiene un punto en $\mathbb{R} - A$ .

5voto

Paul Puntos 41

Toma $\mathbb{R}$ con la topología de complemento finito, es decir, los conjuntos abiertos son exactamente aquellos con complemento finito. Entonces $[0,1]$ no está abierto ni cerrado. No está abierto porque $\mathbb{R}\setminus [0,1]=(-\infty,0) \cup (1,\infty)$ no es finito, y no es cerrado ya que su complemento, $(-\infty,0) \cup (1,\infty)$ no está abierto, como se acaba de demostrar.

2voto

OGC Puntos 913

El intervalo $\left ( 0,1 \right )$ como un subconjunto de $\mathbb{R}^{2}$ Es decir $\left \{ \left ( x,0 \right ) \in \mathbb{R}^{2}: x \in \left ( 0,1 \right )\right \}$ no es ni abierto ni cerrado porque ninguno de sus puntos es interior y $\left ( 1,0 \right )$ es un punto límite que no está en el conjunto.

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