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Una pregunta sobre el Funtor Hom en teoría de la categoría

Supongamos que $\mathcal{C}$ es una categoría y $f: A \rightarrow B $ es un morfismo de un objeto $A$ a otro objeto $B$ tal que $f_*:Hom(C,A) \to Hom(C,B)$ es biyectiva $\forall C \in ob(\mathcal{C})$. ¿Puede concluirse que $f$ es una equivalencia? Soy capaz de ver que $\exists g: B \to A$ tal que $fg=id_B$ pero soy incapaz de encontrar un $h$ tal que $hf=id_A$. Podemos asumir que la categoría es pequeña si te ayuda. Si no es cierto, ¿cómo podemos encontrar un contraejemplo? Gracias

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Hanno Puntos 8331

Sí, de hecho, acabo de encontrar la famosa Yoneda Lema (http://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_lemma). Concretamente, mientras que usted sólo necesita surjectivity de $f_{\ast}$ a deducir la existencia de $g: B\to A$$fg=\text{id}_B$, se puede utilizar de inyectividad para deducir de $f_{\ast}(gf)=f(gf)=(fg)f=\text{id}_B\ f=f\ \text{id}_A=f_{\ast}(\text{id}_A)$ que $gf=\text{id}_A$, por lo $g$ es un dos caras, la inversa de a $f$.

Anexo la relación con el Yoneda Lema:

El Yoneda-Lema dice que para cualquier categoría de ${\mathscr C}$ el Yoneda-functor $${\mathbb Y}: {\mathscr C}\to\text{Func}({\mathscr C}^{\text{op}},\textsf{Set}), \quad X\mapsto{\mathbb Y}(X) := \text{Hom}_{{\mathscr C}}(-,X)$$ es totalmente fiel. En particular - como lo hace cualquier plenamente fiel functor - refleja isomorphisms.

Ahora, tu suposición es que para todos los $C\in{\mathscr C}$ el mapa de $f_{\ast}:\text{Hom}_{\mathscr C}(C,X)\to \text{Hom}_{\mathscr C}(C,Y)$ es bijective, lo que significa que los morfismos ${\mathbb Y}(f): {\mathbb Y}(X)\to{\mathbb Y}(Y)$ de functors ${\mathscr C}^{\text{op}}\to\textsf{Set}$ es un pointwise isomorfismo. Sin embargo, pointwise isomorphisms de functors ya están isomorphisms (), por lo que su supuesto implica que la ${\mathbb Y}(f)$ es un isomorfismo, y por lo tanto también lo es $f$.

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