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¿Por qué se requiere radianes en el cálculo?

Creo que esto es algo de lo que me he acostumbrado a, pero no puede recordar ninguna prueba.

Cuando la diferenciación y la integración con las funciones trigonométricas, se requieren ángulos para ser tomado en radianes. ¿Por qué se hace entonces y solo entonces?

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Warren Hill Puntos 2141

Radianes hacen posible relacionar una medida lineal y un ángulo medida. Una unidad de círculo es un círculo cuyo radio es una unidad. El radio de la unidad es la misma como una unidad a lo largo de la circunferencia. Envuelva una número de la línea en sentido antihorario alrededor de un círculo unitario comenzando desde cero en (1, 0). La longitud del arco subtendido por el ángulo central se convierte en el radián medida del ángulo.

De Por Qué Radianes? | La Enseñanza De Cálculo

Por lo tanto, estamos comparando cosas como la longitud de un radio y la longitud de un arco subtendido por un ángulo $L = R \cdot \theta$ donde $$ L es la longitud del arco, $R$ es el radio y $\theta$ es el ángulo medido en radianes.

Nos podría, por supuesto, hacer cálculos en grados, pero tendríamos que introducir torpe factores de escala.

El título no tiene ningún vínculo directo a un círculo, pero se ha elegido arbitrariamente como unidad para medir ángulos: es de suponer que su $360^o$ 360 porque divide muy bien por un montón de números.

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chaiwalla Puntos 1132

Para hacer comentaristas' puntos explícita, los "grados de modo de funciones trigonométricas" funciones $\cos^\circ$ y $\sin^\circ$ satisfacer la torpe identidades $$ (\cos^\circ)' = -\frac{\pi}{180} \sin^\circ,\qquad (\sin^\circ)' = \frac{\pi}{180} \cos^\circ, $$ con todo lo que implica para cada fórmula que involucra la derivada o antiderivada de una función trigonométrica (reducción de fórmulas para la integral de la potencia de una función trigonométrica, el poder de la serie de representaciones, etc., etc.).


Añadido: en Cuanto a Yves Daoust comentario, leí la pregunta, "¿por Qué el trabajo [si los ángulos son tomadas en radianes] y sólo entonces?", como preguntar, "¿por Qué la derivada de las fórmulas para $\sin$ y $\cos$ a tomar su forma familiar cuando (y sólo cuando) $\sin$ y $\cos$ $2\pi$-periódico (en vez de $360$-periódico)?" Si esta interpretación es correcta, y si uno acepta que de una vuelta completa de un círculo es tanto $360$ unidades de un tipo (grados) y $2\pi$ de otro (radianes), entonces las fórmulas anteriores son equivalentes a $\pecado' = \cos$ y $\cos' = -\sin$, y (creo) ¿ justificar "por qué" hacemos uso de los $2\pi$-funciones periódicas $\cos$ y $\sin$ de cálculo en lugar de $\cos^\circ$ y $\sin^\circ$.

Por supuesto, es posible naslundx estaba preguntando "por qué" en un sentido más profundo, es decir, para una definición precisa de "seno y coseno en modo radianes" y una prueba de que $\cos' = -\pecado$ y $\pecado' = \cos$ para estas funciones.

Para hacer frente a esta posibilidad: En mi opinión, es más conveniente definir seno y coseno analíticamente (es decir, no de definir geométricamente), como soluciones de la segunda orden de valores iniciales problemas \begin{align*} \cos" + \cos &= 0 & \cos 0 &= 1 & \cos 0 = 0, \\ \pecado" + \pecado &= 0 & \sen 0 &= 0 & \pecado' 0 = 1. \end{align*} (Para decir lo menos, no todo el mundo comparte este punto de vista!) A partir de estas Odas, es fácil establecer la caracterización: $$ y" + y = 0,\quad y(0) = a,\ y'(0) = b\quad\text{si}\quad y = a\cos + b\pecado. $$ Uno rápidamente se $\cos' = -\pecado$ y $\pecado' = \cos$, el ángulo de la suma de las fórmulas, el poder de la serie de representaciones, y la periodicidad (la obtención de una analítica de la definición de $\pi$). Después de esto, es trivial ver que $\mathbf{x}(\theta) = (\cos \theta, \sin \theta)$ es una unidad de velocidad parametrización del círculo unitario (su velocidad $\mathbf{x}'(\theta) = (\sin\theta, -\cos\theta)$ es, obviamente, un vector unitario). En consecuencia, $\theta$ puede ser visto como la definición de un numérica de medición de "ángulo" coincidiendo con la "longitud de arco a lo largo de la unidad del círculo", y $2\pi$ unidades de esta medida equivale a una vuelta completa.

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Jukka Dahlbom Puntos 1219

Se trata de los siguientes límites: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$ O en otras palabras, "$\sin x \aprox x$ para los pequeños de $x$". Como consecuencia, tenemos $$ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x $$ Para cualquier otra opción de angular de la unidad, estos derivados requieren algún tipo de coeficiente (como $\pi/180$). En este sentido, los radianes son los "naturales" de la unidad para un ángulo, tan lejos como el cálculo de que se trate.

5voto

Yves Daoust Puntos 30126

Suponga que la formula $\sin'_r(x)=\cos_r(x)$ es cierto para algunos angular de la unidad, vamos a "$r$". Por otro angular de la unidad, vamos a "$d$", no es un factor de conversión, deje que $\lambda_{d\rightarrow r}$, y podemos escribir:

$$\sin_d'(x)=\sin_r'(\lambda_{d\rightarrow r} x)=\lambda_{d\rightarrow r}\cos_r(\lambda_{d\rightarrow r} x)=\lambda_{d\rightarrow r}\cos_d(x).$$

Por lo que la derivación de la fórmula sólo puede ser simple ($\lambda=1$) angular unidad $r$, que utilizamos para llamar a radianes.

Pero ¿cómo podemos saber cuánto es un radián ?

Usando $\sin_r'(x)=\cos_r(x)$ (y a su vez de $\cos_r'(x)=-\sin_r(x)$) permite sacar varias de Taylor-McLaurin de la serie de expansiones, entre los cuales el de la arco tangente, y, finalmente, conduce a la de Gregory-fórmula de Leibnitz. De esta forma se define la constante de $\pi$ y muestra que un octavo de vuelta (ángulo de la isósceles triángulo rectángulo) es $\frac{\pi}{4}$ radianes, equivalente a 45 grados (por la definición de los grados).

En la final, $\lambda_{d\rightarrow r}=\frac{\pi}{180}$ y $\sin_d'(x)=\frac{\pi}{180}\cos_d(x)$.

3voto

user132181 Puntos 1050

Respuesta Simple: radian no es realmente una unidad, es una ausencia de uno. Grado, por otro lado, es. Trabajando con dimensionful cantidades en el cálculo es la última cosa que queremos hacer (a menos que usted está en kinky cosas) :)

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