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Cómo probar que: $\tan(3\pi/11) + 4\sin(2\pi/11) = \sqrt{11}$

¿Cómo podemos demostrar la siguiente identidad trigonométrica?

$$\displaystyle \tan(3\pi/11) + 4\sin(2\pi/11) =\sqrt{11}$$

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Alex Bolotov Puntos 249

Este es un famoso problema!

Una prueba que tengo de solo buscar en google, aparece como una solución del Problema de 218 en la facultad de Matemáticas de la Revista.

Instantánea:

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Usted debe ser capaz de encontrar un par de pruebas más y referencias aquí: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0709/0709.3755v1.pdf

14voto

Mike Conigliaro Puntos 1215

Otra manera de solucionarlo mediante el siguiente teorema encontrado aquí (autor B. Sury):

Sea p un extraño prime, $p\equiv -1 \pmod 4$ y dejar que $Q$ el conjunto de los cuadrados en $\mathbb{Z}_p^*$. Entonces, $$\sum_{un\Q}\sin\left(\frac{2a\pi}{p}\right)=\frac{\sqrt{p}}{2}$$

Usted también puede necesitar la utilización de $2\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)+\sin(x-y)$.

7voto

Jon Skeet Puntos 692016

Un poco más general es $$ (\tan 3x+4\sen 2x)^{2}= 11-\frac{\cos 8x(\tan 8x+\tan 3x)}{\sin x\cos 3x}.$$ La prueba es similar, véase, por ejemplo, en Mathlinks aquí o en el archivo adjunto en la parte inferior de este post.

2voto

Viriato Puntos 491

Similar a la prueba de la facultad de Matemáticas de la Revista, pero estructurado de forma ligeramente diferente.

Deje que $\omega=e^{i\pi /11}$. Entonces tenemos $\sin\dfrac{k\pi}{11}=\dfrac{\omega^{2k}-1}{2i\omega^k}$ y $\tan\dfrac{k\pi}{11}=\dfrac{\omega^{2k}-1}{i(\omega^{2k}+1)}$

Sustitución seguido por algunas manipulaciones algebraicas debe conducir a $\displaystyle\sum_{i=0}^{10}\omega^{2}=0$, lo cual es cierto.

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