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Cómo criar a un número complejo a la potencia de otro número complejo?

¿Cómo puedo calcular el resultado de la toma de un número complejo a la potencia de otro, es decir,$\displaystyle {(a + bi)}^{(c + di)}$?

8voto

Andrew Puntos 140

Bien, suponiendo que los valores principales de la compleja logaritmo (de lo contrario mucho la locura se desata):

$$(a+bi)^{c+di}=\exp((c+di)\ln(a+bi))$$

$$=\exp((c+di)(\ln|a+bi|+i\arg(a+bi)))$$

$$=\exp((c\ln|a+bi|-d\arg(a+bi))+i(c\arg(a+bi)+d\ln|a+bi|))$$

$$=\exp((c\ln|a+bi|-d\arg(a+bi)))\exp(i(c\arg(a+bi)+d\ln|a+bi|))$$

y voy a dejar que termine en este punto, usando el hecho de que $\exp(ix)=\cos\;x+i\sin\;x$

4voto

Dan Walker Puntos 3466

Transcribo parte de mi respuesta a esta pregunta.

El complejo exponencial $e^z$ complejas $z=x+iy$ preserva la ley de los exponentes de la real exponencial y satisface $e^0=1$.

Por definición

$$e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+\sin y)$$

lo cual está de acuerdo con la verdadera función exponencial al $y=0$. El principal logaritmo de $z$ es el número complejo

$$w=\text{Log }z=\log |z|+i\arg z$$

de modo que $e^w=z$ donde $\arg z$ (el principal argumento de $z$) es el número real en $-\pi\lt \arg z\le \pi$,$x=|z|\cos (\arg z)$$y=|z|\sin (\arg z)$.

El complejo de energía es

$$z^w=e^{w\text{ Log} z}.$$

En tu caso, tienes: $z=a+bi,w=c+di$

$$\begin{eqnarray*} \left( a+bi\right) ^{c+di} &=&e^{(c+di)\text{Log }(a+bi)} \\ &=&e^{(c+di)\left( \ln |a+bi|+i\arg (a+bi)\right) } \\ &=&e^{c\ln \left\vert a+ib\right\vert -d\arg \left( a+ib\right) +i\left( c\arg \left( a+ib\right) +d\ln \left\vert a+ib\right\vert \right) } \\ &=&e^{c\ln \left\vert a+ib\right\vert -d\arg(a+bi)}\times \\ &&\times \left( \cos \left( c\arg \left( a+ib\right) +d\ln \left\vert a+ib\right\vert \right) +i\sin \left( c\arg \left( a+ib\right) +d\ln \left\vert a+ib\right\vert \right) \right). \end{eqnarray*}$$

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