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Debo usar un binomio cdf o normal cdf al lanzar las monedas?

Una moneda tiene que ser probado por la justicia. 30 cabezas hasta después de los 50 lanzamientos. Suponiendo que la moneda es justo, ¿cuál es la probabilidad de que usted podría conseguir en menos de 30 cabezas de 50 lanzamientos?

La forma correcta de hacer este problema, según mi maestro, es hacer

normalcdf(min = .6, max = ∞, p = .5, σ = sqrt(.5 * .5 / 50) = 0.0786

Sin embargo, me llevé una binomial función de distribución acumulativa como este

1 - binomcdf(n = 50, p = .5, x = 29) = 0.1013

Creo que el criterio para la distribución binomial está satisfecho: cada uno de los eventos son independientes, hay sólo dos resultados posibles (jefes vs colas), la probabilidad es constante para la pregunta (0.5), y el número de ensayos, se fija en el 50. Sin embargo, obviamente, los dos métodos dan respuestas diferentes, y una simulación es compatible con mi respuesta (al menos las pocas veces que me corrí; obviamente, yo no puedo garantizar que obtendrá los mismos resultados).

Es mi maestro equivocado en el supuesto de que una curva de distribución Normal, también sería una forma válida de hacer este problema (que en ningún momento se dice que la distribución es Normal, pero n*p y n*(1-p) son ambos mayores que 10), o he entendido algo acerca de distribuciones binomiales?

26voto

Joe Philllips Puntos 13616

Utilizar el binomio PDF no CDF, la respuesta final es el 4.2% de probabilidades de obtener 30/50 cabezas.

10voto

user8076 Puntos 16

Aquí está una ilustración de las respuestas de whuber y único.

continuity correction

En rojo, la distribución binomial $\mathcal Bin(50,0.5)$, en negro, la densidad de la aproximación normal a $\mathcal N(25, 12.5)$, y en azul la superficie correspondiente a$\mathbb P(Y > 29.5)$$Y \sim \mathcal N(25, 12.5)$.

La altura de una barra de color rojo correspondiente a $\mathbb P(X=k)$ $X\sim\mathcal Bin(50,0.5)$ se aproxima bien por $\mathbb P\left( k -{1\over 2} < Y < k + {1\over 2}\right)$. Para obtener una buena aproximación de $\mathbb P(X \ge 30)$, es necesario el uso de $\mathbb P(Y>29.5)$.

(edit) Este es $$\mathbb P(Y>29.5) \simeq 0.1015459,$$ (obtenida en el R 1-pnorm(29.5,25,sqrt(12.5))), mientras que $$\mathbb P(X \ge 30) \simeq 0.1013194:$$ la aproximación es correcta.

Esto se llama la continuidad de la corrección. Permite calcular incluso "punto de probabilidades" como $\mathbb P(X=22)$ : $$\begin{align*} \mathbb P(X=22) &= {50 \choose 22} 0.5^{22} \cdot 0.5^{28} \simeq 0.07882567, \\ \mathbb P(21.5 < Y < 22.5) & \simeq 0.2397501 - 0.1610994 \simeq 0.07865066.\end{align*}$$

4voto

Tener en cuenta esto. En la discreta distribución binomial tiene probabilidades reales de los números individuales. En el continuo normal que no es el caso, usted necesita un rango de valores. Así que... si se va a aproximar la probabilidad de un valor individual, digamos X, de la binomial con la normal, ¿cómo lo harían? Mira un histograma de probabilidad de la distribución binomial con la curva normal puesto sobre él. Usted necesita realmente seleccione desde X ± 0.5 a capturar algo similar a lo que el binomial de probabilidad de X es con la aproximación normal.

Ahora extender el proceso a la hora de escoger una cola de la distribución. Cuando se utiliza el método binomial usted está seleccionando todo su valor de la probabilidad (30 en su caso), además de todo lo superior. Por lo tanto, cuando haces la continua usted tiene que asegurarse de capturar y seleccionar 0.5 menos, así que el punto de corte en la distribución continua es de 29.5.

4voto

Berek Bryan Puntos 349

La distribución normal da una aproximación más cercana a la binomial si utiliza una corrección de continuidad. El uso de este por su ejemplo, me sale 0.1015. Como esta es la tarea, voy a dejar a usted para completar los detalles.

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