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La existencia de la valoración de los anillos en una expresión algebraica de la función de campo de una variable

El siguiente teorema es una versión ligeramente modificada del Teorema 1, pág.6 de Chevalley la Introducción a la teoría de funciones algebraicas de una variable. Él demostró que usando el lema de Zorn. Sin embargo, Weil escribió en su reseña del libro, que esto puede ser probado sin ella. Me pregunto cómo.

Teorema de Deje $k$ ser un campo. Deje $K$ ser un finitely generado campo de la extensión de $k$ de la trascendencia de grado uno. Deje $A$ ser un sub-anillo de $K$ contiene $k$. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. Entonces existe una valoración anillo de $R$ $K$ dominando $A_P$.

EDITAR Weil escribió:

Uno podría observar aquí que, en una función de campo de la dimensión 1, valoración de cada anillo es finitely que se generan en el campo de las constantes, y por lo tanto , si un poco diferente de acuerdo había sido aprobado, el uso del lema de Zorn (o de el axioma de Zermelo) podría haber sido evitado por completo; desde Teorema 1 está formulado sólo para dichos campos, este tratamiento hubiera sido más coherente, y las características distintivas de la dimensión 1 apareció más claramente.

EDITAR Podemos suponer que $A$ contiene un elemento trascendental $x$ $k$(de lo contrario el teorema sería trivial). Si $A$ es finitely generado más de $k$, podemos probar el teorema sin usar el lema de Zorn; Es bien sabido que la integral de cierre de $B$ $A$ $K$ es finitely genera como una $A$-módulo. Por lo tanto $B$ es Noetherian e integralmente cerrado. Podemos suponer $P ≠ 0$. Desde $B$ integral $A$, existe un primer ideal ideal $M$ $B$ que se encuentra sobre $P$. Desde $B$ es Noetherian, esto puede ser probado sin el lema de Zorn. Desde dim $B$ = 1, $B_M$ es un discreto valoración del anillo dominante $A_P$. Me pregunto si Weil estaba hablando acerca de este caso.

EDITAR[10 de julio de 2012] Como las respuestas a esta pregunta muestran, la línea siguiente en el proceso es el mal: "Desde $B$ es Noetherian, esto puede ser probado sin el lema de Zorn." Sin duda esto puede ser probado sin el lema de Zorn, pero no es porque $B$ es Noetherian, pero debido a $B$ es finitely genera como una $A$-módulo.

EDITAR[13 de julio de 2012] Creo que he resuelto el problema. Sin embargo, no creo que esta es la forma en Weil hizo. Me imagino que su prueba era más simple.

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kubi Puntos 20607

He tomado prestada la idea de la Bourbaki la prueba de Krull-Akizuki teorema.

Definición Deje $A$ ser un no-necesariamente conmutativo anillo. Deje $M$ ser una izquierda $A$-módulo. Supongamos $M$ tiene una composición de la serie, la longitud de cada serie son los mismos por parte de Jordan-Hoelder teorema. Se denota por a $leng_A M$. Si $M$ no tiene una composición de la serie, definimos $leng_A M = \infty$.

Lema 1 Deje $A = k[X]$ ser un polinomio de anillo de una variable sobre un campo de $k$. Deje $f$ ser un elemento no nulo de a $A$. A continuación, $A/fA$ es finita $k$-módulo.

Prueba: Claro.

Lema 2 Deje $A = k[X]$ ser un polinomio de anillo de una variable sobre un campo de $k$. Deje $M$ ser una torsión $A$-módulo de finito tipo. A continuación, $M$ es finita $k$-módulo.

Prueba: Deje $x_1, ..., x_n$ a ser la generación de elementos de $M$. Existe un elemento no nulo $f$ $A$ tal que $fx_i = 0$, $i = 1, ..., n$. Deje $\psi:A^n \rightarrow M$ ser el de morfismos definido por $\psi(e_i) = x_i$, $i = 1, ..., n$, donde $e_1, ..., e_n$ es la base canónica de $A^n$. Por el Lema 1, $A^n/fA^n$ es finita $k$-módulo. Desde $\psi$ induce un surjective mophism $A^n/fA^n \rightarrow M$, $M$ es un finito $k$-módulo. QED

Lema 3 Deje $A = k[X]$ ser un polinomio de anillo de una variable sobre un campo de $k$. Deje $M$ $A$- módulo. A continuación, $length_A M < \infty$ si y sólo si $M$ es finita $k$-módulo.

Prueba: Supongamos $length_A M < \infty$. Deje $M = M_0 \supset M_1 \supset ... \supset M_n = 0$ ser una composición de la serie. Cada una de las $M_i/M_{i+1}$ es isomorfo a $A/f_iA$ donde $f_i$ es un polinomio irreducible en $A$. Desde $dim_k A/f_iA$ es finito por el Lema 1, $dim_k M$ es finito.

Lo contrario es clara. QED

Lema 4 Deje $A$ ser no necesariamente conmutativo anillo. Deje $M$ ser una izquierda $A$-módulo. Deje $(M_i)_I$ ser una familia de $A$-submódulos de $M$ indexado ser un conjunto $I$. Supongamos $(M_i)_I$ satisface la siguiente condición.

$M = \cup_i M_i$, y para cualquier $i, j \in I$ existe $k \in I$ tal que $M_i \subset M_k$$M_j \subset M_k$.

A continuación,$leng_A M = sup_i leng_A M_i$.

Prueba: Supongamos $sup_i leng_A M_i = \infty$. Desde $sup_i leng_A M_i \leq leng_A M$, $leng_A M = \infty$. Por lo tanto podemos asumir que $sup_i leng_A M_i = n < \infty$. Deje $n = leng_A M_{i_0}$. Para cada una de las $i \in I$ existe $k \in I$ tal que $M_{i_0} \subset M_k$$M_i \subset M_k$. Desde $leng_A M_k = n$, $M_{i_0} = M_k$, $M_i \subset M_{i_0}$. Desde $M = \cup_i M_i$, $M = M_{i_0}$. Por lo tanto $leng_A M = n$. QED

Lema 5 Deje $A = k[X]$ ser un polinomio de anillo de una variable sobre un campo de $k$. Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $A$. Deje $M$ ser una de torsiones $A$-módulo de finito tipo. Deje $r = dim_K M \otimes_A K$ Deje $f$ ser un elemento no nulo de a $A$. A continuación, $leng_A M/fM \leq r(leng_A A/fA)$

Prueba: Existe una $A$-submódulo $L$ $M$ tal que $L$ es isomorfo a $A^r$ $Q = M/L$ es una de torsión módulo de finito de tipo más de $A$. Por lo tanto, por el Lema 2, $Q$ es finita $k$-módulo. El núcleo de $M/f^nM \rightarrow Q/f^nQ$ $(L + f^nM)/f^nM$ que es isomorfo a $L/(f^nM \cap L)$. Desde $f^nL \subset f^nM \cap L$, $leng_A M/f^nM \leq leng_A L/f^nL + leng_A Q/f^nQ \leq leng_A L/f^nL + leng_A Q$. Desde $M$ es de torsiones, $f$ induce isomorfismo $M/fM \rightarrow fM/f^2M$. Por lo tanto $leng_A M/f^nM = n(leng_A M/fM)$. Del mismo modo $leng_A L/f^nL = n(leng_A L/fL)$. Por lo tanto $leng_A M/fM \leq leng_A L/fL + (1/n) leng_A Q$. Desde $L$ es isomorfo a $A^r$, $leng_A L/fL = r(leng_A A/fA)$. Por lo tanto $leng_A M/fM \leq r(Leng_A A/fA)$. QED

Lema 6 Deje $A = k[X]$ ser el polinomio anillo de una variable sobre un campo de $k$. Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $A$. Deje $M$ ser una de torsiones $A$-módulo. Supongamos $r = dim_K M \otimes_A K$ es finito. Deje $f$ ser un elemento no nulo de a $A$. A continuación, $leng_A M/fM \leq r(Leng_A A/fA)$

Prueba: Deje $(M_i)_I$ ser parte de la familia de finitely generadas $A$-submódulos de $M$. $M/fM = \cup_i (M_i + fM)/fM =\cup_i M_i/(M_i \cap fM)$. Desde $fM_i \subset M_i \cap fM$, $M_i/(M_i \cap fM)$ es isomorfo a un cociente de $M_i/fM_i$. Por lo tanto, por el Lema 5, $leng_A M_i/(M_i \cap fM) \leq r(leng_A A/fA)$. Por lo tanto, por el Lema 4, $leng_A M/fM \leq r(leng_A A/fA)$ QED

Lema 7 Deje $A = k[X]$ ser un polinomio de anillo de una variable sobre un campo de $k$. Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $A$. Deje $L$ ser finito campo de la extensión de $K$. Deje $B$ ser un sub-anillo de $L$ contiene $A$. A continuación, $B/fB$ es finita $k$-módulo para cada elemento no nulo $f \in B$.

Prueba: Desde $L$ es una extensión finita de $K$, $a_rf^r + ... + a_1f + a_0 = 0$, donde $a_i \in A, a_0 \neq 0$. A continuación,$a_0 \in fB$. Desde $B \otimes_A K \subset L$, $dim_K B \otimes_A K \leq [L : K]$. Por lo tanto, por el Lema 6, $leng_A B/a_0B$ es finito. Por lo tanto $leng_A B/fB$ es finito. Por lo tanto, por el Lema 3, la afirmación de la siguiente manera. QED

Lema 8 Deje $A$ ser un integralmente dominio cerrado que contiene un campo $k$ como un sub-anillo. Supongamos $A/fA$ es finita $k$-módulo para cada elemento no nulo $f \in A$. Deje $S$ ser un subconjunto multiplicativo de a $A$. Deje $A_S$ ser la localización con respecto a $S$. A continuación, $A_S$ es integralmente cerrado dominio que contiene un campo de $k$ como un sub-anillo y $A_S/fA_S$ es finita $k$-módulo para cada elemento no nulo $f \in A_S$.

Prueba: Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $A$. Supongamos que $x \in K$ integral $A_S$. $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$ donde $a_i \in A_S$. Por lo tanto, no existe $s \in S$ tal que $sx$ integral $A$. Desde $A$ es integralmente cerrado, $sx \in A$. Por lo tanto $x \in A_S$. Por lo tanto $A_S$ es integralmente cerrado.

Deje $f$ ser un elemento no nulo de a $A_S$. $f = a/s$ donde $a \in A, s \in S$. A continuación,$fA_S = aA_S$. Por esto, $aA$ es un producto de primer ideales de $A$. Deje $P$ ser un no-cero prime ideal $P$$A$. Desde $P$ es máxima, $A_S/P^nA_S$ es isomorfo a $A/P^n$ o $0$. Por lo tanto $A_S/aA_S$ es finita $k$-módulo. QED

Lema 9 Deje $A$ ser un integralmente dominio cerrado que contiene un campo $k$ como un sub-anillo. Supongamos $A/fA$ es finita $k$-módulo para cada elemento no nulo $f \in A$. Deje $P$ ser un no-cero el primer ideal de $A$. A continuación, $A_P$ es un discreto anillo de valoración.

Prueba: Por el Lema de 8 y este, cada no-cero ideal de $A_P$ tiene una única factorización como un producto de primer ideales. Por lo tanto $PA_P \neq P^2A_p$. Deje $x \in PA_P - P^2A_P$. Desde $A_P$ es el único no-cero el primer ideal de $A_P$, $xA = PA_P$. Dado que todos los no-cero ideal de $A_P$ puede ser escrito $P^nA_P$, $A_P$ es uno de los principales ideales de dominio. Por lo tanto $A_P$ es un discreto anillo de valoración. QED

Teorema de Deje $k$ ser un campo. Deje $K$ ser un finitely generado campo de la extensión de $k$ de la trascendencia de grado uno. Deje $A$ ser un sub-anillo de $K$ contiene $k$. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. Entonces existe una valoración anillo de $R$ $K$ dominando $A_P$.

Prueba: Podemos suponer que $A$ contiene un elemento trascendental $x$ $k$(de lo contrario el teorema sería trivial). También podemos suponer que $P \neq 0$.

Deje $B$ ser la integral de cierre de $A$$K$. Por el Lema 7, $B/fB$ es finita $k$-módulo para cada elemento no nulo $f \in B$. Deje $S = A - P$. Deje $B_P$ $A_P$ ser las localizaciones de la $B$ $A$ con rspect a $S$ respectivamente. Deje $y \in P$ ser un no-zer elemento. Por el Lema 8, $B_P/yB_P$ es de un número finito de k-módulo. Desde $yB_P \subset PB_P$ y $PB_P \neq B_P$, $yB_P \neq B_P$. Por lo tanto, no existe un ideal maximal $Q$ $B_P$ contiene $y$. Desde $B_P$ integral $A_P$ $PA_P$ es un único ideal maximal de $A_P$, $P = Q \cap A_P$. Deje $Q' = Q \cap B$. A continuación, $Q'$ es un primer ideal de $B$ se encuentra por encima del $P$. Por el Lema 9, $B_Q'$ es un discreto anillo de valoración y domina $A_P$. QED

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