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¿Por qué es de Rham cohomology importante en la física fundamental?

Actualmente estoy trabajando en algunos aspectos matemáticos de mayor tirada de la gravedad de las teorías y de de Rham cohomology aparece muy a menudo.

Entiendo su significado como el grupo de formas cerradas en algún espacio, módulo del exacto de las formas.

Antes de sumergirse en concreto matemática detalles, me preguntaba si alguien podría explicarme la esencia de de Rham cohomology y por qué es pop-up de todo (fundamental) de la física matemática.

Si no me equivoco, es una valiosa herramienta, ya que codifica global propiedades topológicas del espacio en una expresión algebraica objeto, que debe ser más fácil trabajar con, derecho? Qué sería de una lucha sin ella?

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Paulius Puntos 369

Usted podría currículum de la importancia de cohomology (no sólo de Rham) en la Física (y de todas las áreas de la Matemática Aplicada) de una manera muy concisa: si tu formas cerradas, no son exactos, entonces cohomology asuntos. También, clases de equivalencia de formas surgen en Física de forma muy natural.

Vamos a ver algunos ejemplos.

Tomar de dos a $n$formas de $A_1$ $A_2$ $(n-1)$forma $B$. Si $A_1 = A_2 + dB$, entonces usted puede identificar a $A_1,\,A_2 \in [A]$, es decir, $A_1$ $A_2$ son miembros de una determinada cohomology de la clase $[A]$. A continuación, puedes ver algunos objetos de la Física puede ser formulado mediante cohomology teoría:

Ejemplo 1: transformaciones Canónicas son elementos de la misma cohomology de la clase. Esto puede ser visto por recordar que $f$ es una transformación canónica, si sale canónica de la 2-forma invariante:

$$f^*\omega = \omega \Rightarrow d(x \circ f) \wedge d(y \circ f) = dx \wedge dy \Rightarrow (x \circ f) d(y \circ f) = x \, dy + dS(y,y\circ f) \, ,$$

es decir, $ A_1 = A_2 + dB$, donde $A_1 = (x \circ f) d(y \circ f)$, $A_2 = x \, dy$ y $B = S(y,y\circ f)$, la generación de la función de tipo 4.

Ejemplo 2: El potencial de $A$, a partir de la cual tensor de Maxwell $F$ es construir con $F = dA$, es una 1-forma. Pero podemos ver que el cambio de $A = A + dB$ no cambio $F=dA$, ya que el $d(dA)=0$. Esto significa que las ecuaciones de Maxwell son invariantes si sustituye los potenciales tales que $A_1 = A_2$ en el mismo cohomology de la clase. Esta invariancia se llama la invariancia gauge.

Estos son sólo muy sencillo situaciones donde cohomology clases de aparecer, y desde cohomology teoría es el estudio de las clases, entonces vale la pena estudiar un poco de ella en aquellos contextos. Si el espacio de fase es complicado, entonces el estudio de la cohomology de sus formas podría ser más fácil que buscar conclusiones que podrían extraerse de un análisis de las ecuaciones de movimiento. El estudio de cohomology se justifica sobre todo porque cohomology grupos diferenciales invariantes, y en la Física estamos (como en las situaciones que he descrito en los ejemplos), muchas veces, tratar con diffeomorphisms.

Edit: Esto no debería ser una respuesta real, sólo un boceto en algunas situaciones triviales donde me encontré con cohomology mientras que el estudio de la Física. Espero que alguien que realmente funciona con duro cohomology puede responder mejor.

12voto

count_to_10 Puntos 483

Antes de sumergirse en concreto matemática detalles, me preguntaba si alguien podría explicarme la esencia de de Rham cohomolohy y por qué es pop-up de todo (fundamental) de la física matemática.

Por favor considere esto como simplemente una (probablemente equivocada) de intentar una respuesta, porque quería aprender un poco más a mí mismo sobre el uso de los formularios.

Más información se puede encontrar en la Wikipedia De Rahm Cohomology .

Una analogía con respecto a la esencia de Rahm cohomology.

Asumir que hay un electrón, escondido en algún lugar en el espacio. Usted puede encontrar solamente mediante el uso de las integrales que se basan en la física, propiedades medibles de los objetos. Por lo que las integrales sería de uso?

Es un electrón, por lo que el uso de la superficie de las integrales a lo largo de con Guass la ley y de encontrar un valor para el flujo eléctrico. A continuación, puede repetir este proceso hasta obtener un cero respuesta. Esto le permite limitar la búsqueda a una determinada forma esférica región del espacio. Usted reducirla gradualmente reduciendo el tamaño de la esfera.

El punto de todo esto es tratar de demostrar la utilidad de de Rham cohomology como un procedimiento general para la búsqueda de objetos en un espacio que poseen un determinado tipo de campo. El campo se describe formas diferenciales. Suponga que el campo es lo suficientemente fuerte, y que su fuerza va a infinito a medida que se acerca al objeto, de manera que causa un defecto en el espacio. Desea localizar este defecto, mediante el cálculo de ciertas integrales y comprobar que no son cero. En cuanto a si este formulario se integra a cero o no en los diversos hypersurfaces de la dimensión que corresponda corresponde a averiguar lo que el diferencial de la forma se parece a de de Rham cohomology.

Otro Enfoque Intuitivo

Homología y cohomology son, entre otras cosas, una manera de contar el número de agujeros en un colector.

Suponga que un 2-D plano con un punto de falta de ella. Ahora, si usted tiene cualquiera de los dos puntos en cualquier lugar, dada la definición de la topología, se puede aplastar juntos en uno de los "más grandes". A continuación, sólo tiene que ir alrededor y evitar el punto que falta. Sin embargo, si usted tiene una cadena de bucle alrededor de la falta, no se puede aplastar el bucle a un punto. Puedes terminar con un 1-dimensional agujero.

O, para dar otro ejemplo, considere la posibilidad de un toro. Hay algunos unidimensional, la cadena de lazos en el toro que usted puede traer a un punto (también conocido como "null-homotópica trazados cerrados"), pero hay algunos que no se puede. Por ejemplo, uno de estos bucles no puede ser llevado a un punto:

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No solo son incapaces de llevar estos bucles juntos, ni siquiera se puede deformar el rojo para convertirse en un morado. Esos son dos distintas 1-dimensiones de los agujeros en nuestro espacio/colector, por lo que el 1-D de homología (o cohomology) va a tener dos generadores independientes en esta situación.

De cualquier forma en el interior del espacio es un agujero si es que no tiene límites o no es el límite de cualquier otra cosa.

Esto subraya la diferencia entre los circuitos cerrados y abiertos caminos; también se dice que un circuito cerrado no es un agujero, si los límites de un parche. Una superficie con un límite no es el pensamiento de ser un agujero, sino una superficie sin límite (como una esfera), y se trata de un agujero a menos que se tiene una esfera en su interior.

Formas

0-formas son sólo funciones de $f(x,y,z)$

1-las formas son como $fdx+gdy+hdz$

2-las formas son como $fdxdy+gdxdz+hdydz$

Las formas pueden ser diferenciados e integrados. La diferenciación de una 0-forma da una 1-forma, una 1-forma da una 2-forma, y así sucesivamente.

En la física, estas opciones son equivalentes a "grad", "div" y "curl".

Una forma es cerrado si su derivada es 0, y una forma es exacta si es la derivada de otra cosa. Esto debe ser visto como análoga a las dos partes de "un agujero" tratado anteriormente: cerrados es como "sin límites", y de ser exacto es "como delimitador de un parche". Un agujero es una forma cerrada que no es exacto.

Si no me equivoco, es una valiosa herramienta, ya que codifica global propiedades topológicas del espacio en una expresión algebraica objeto, que debe ser más fácil trabajar con, derecho? Qué sería de una lucha sin ella?

Hablando en términos físicos, la búsqueda de un formulario cuya derivada es una determinada forma es como encontrar un "potencial". Es encontrado por la integración, y es vital que usted puede definir las integrales de una manera única, completamente independiente de la vía de integración. Esta es la razón principal por la que el diferencial de la estructura es una forma alternativa de ver la estructura geométrica de las rutas y los agujeros.

Este es un resumen de De Rahm Cohomology.

6voto

Frederick Marcoux Puntos 472

Tal vez la razón más sencilla de Rham cohomology aparece en la física es que en la mecánica de Lagrange nos importa funcionales que normalmente implican la integración de una densidad Lagrangiana. Así, algo como esto: $$ S[\phi] = \int dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n \phi(x)$$ donde $x = (x^1,\dots,x^n)$. Debemos pensar de esta integral como una máquina que toma en una forma diferenciada $dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\phi(x)$ y escupe un número. Sin embargo, si se requiere que el campo $\phi$ decae suficientemente rápido, o que de plano se desvanece si $|x|$ es lo suficientemente grande, entonces podemos ver que la integral de una superficie de plazo se desvanece: $$\int dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \partial_\mu \Phi^\mu(x) = 0.$$ Esto nos dice que debemos ignorar los campos que puede ser escrito como $\partial_\mu\Phi^\mu(x)$ ya que la adición de este tipo de campos no cambia la acción, y por lo que no puede influir en el de Euler-Lagrange las ecuaciones.

En términos de formas diferenciales, una superficie de plazo $dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\partial_\mu\Phi^\mu(x)$ es sólo una forma exacta, ya que $$d\left(\sum_{\mu = 1}^n (-1)^{n-\mu+1}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{\mu-1}\wedge dx^{\mu + 1}\wedge\cdots\wedge dx^n\Phi^\mu(x) \right) = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\partial_\mu\Phi^\mu(x).$$ Por lo tanto, estamos realmente interesados, no en todos los $n$-formas (de Lagrange densidades), pero sólo $n$-formas modulo exacto $n$-formas. Dado que todos los $n$-forma en un $n$ dimensiones del espacio es cerrado, esto significa que estamos interesados en el $n$-ésimo de Rham cohomology.

En general, de Rham cohomology aparece en muchos lugares donde funcionales definidos a través de la integración están presentes. Por ejemplo, puede que desee integrar formas diferenciales sobre una de dimensiones inferiores subespacio. El proceso de integración de un arbitrario diferencial de la forma sobre un subespacio dependerá de la elección del subespacio (es decir, si mueve el subespacio un poco, todos sus integrales va a cambiar). Sin embargo, si se limita sólo a la integración de cerrado de formas diferenciales, entonces las integrales no cambia si el subespacio es ligeramente perturbado. Por otra parte, en algunos casos (dependiendo de las condiciones de contorno) exacto formas diferenciales por defecto integrar a 0. Esto te deja interesados en formas cerradas modulo exacta de la forma de nuevo.

Como otras respuestas ya han mencionado, los resultados de estas integrales pueden decir topológica de la información acerca de su espacio (o subespacio, o incluso alguna estructura adicional adjunta a su espacio, como un vector paquete). Por ejemplo, en el Yang Mills teoría en $\mathbb{R}^4$, el posible decaimiento de las condiciones para el vector potencial de $A$ son determinados, hasta deformaciones, por una de mayores dimensiones analógica de la liquidación (véase el https://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class#Chern_numbers). El Yang de los Molinos de acción se define a través de una integral de ciertas formas diferenciales, y sus mínimos locales son (hasta algunas de las constantes universales) la liquidación de los números de las condiciones de contorno de la extremizing potenciales de satisfacer.

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