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La paradoja en la aplicación de la segunda ley de Newton

Supongamos que aplicar dos verticales, pero fuerzas opuestas con la misma magnitud en un cuerpo como se muestra en la imagen:

The situation described

De acuerdo a la segunda ley de newton, el centro de masa no debería acelerar, ya que la suma de las fuerzas en el sistema son cero. Sin embargo, creo que en la situación que se muestra en la imagen, el cuerpo iba a empezar a rotar alrededor de un punto que no es su centro de masa, por lo tanto, el centro de la masa se acelera.

Lo que está mal con mi razonamiento?

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Malic Puntos 28

Esta aparente paradoja no es realmente una paradoja. De hecho, es debido a la segunda ley de Newton, que podemos decir que el objeto gire exactamente acerca de su centro de masa. Esto es cierto para cualquier cuerpo en el que fuerza externa neta es 0, pero neta torque está presente.

En la mecánica Newtoniana, el centro de la masa sirve para simplificar los cálculos, por exactamente la razón por encima.

Aunque puedo entender que el pensamiento de que el objeto no va a girar alrededor del centro de masa, esta opinión no tiene ningún matemático o lógico suelo.

7voto

Paul Puntos 1978

No ,el centro de masa no acelerar,el objeto va a girar alrededor de su centro de masa.

Si el objeto está sobre una mesa(o en cualquier lugar aquí en la tierra) y si se aplican las fuerzas, como se muestra en la fig no puede ser girado sobre el centro de masa debido a la fuerza de fricción que actúa sobre el objeto,pero en el espacio donde no hay fricción el objeto girará alrededor del centro de masa.

1voto

Cory R. King Puntos 101

Este es un intento de responder a su pregunta en un algo más, matemáticamente, de manera rigurosa, pero aún contando con su (física) de la intuición.

Como otros carteles han señalado, el lineal o de traslación impulso no cambia al aplicar la fuerza en una manera que usted describe. Esto se hace más evidente por la observación de la (no)movimiento del centro de masa, pero también puede 1) dividir el objeto en partes más pequeñas, 2) dibujar los vectores de aceleración y velocidad de cada uno, y 3) observe que la última suma a cero. Desde (lineal) de momento es directamente proporcional a la velocidad, el momentum total también es igual a (y se mantiene) cero. La segunda ley de Newton es, por tanto, satisfecho.

Cuando se trata de objetos que no son puntuales, es decir, tratar con cualquier cosa en la que sólo una dimensión, puede definir lo que resulta ser un dato útil, angular momentum: $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p} $ donde $\mathbf{r}$ es un vector de posición de una partícula (o una parte de un objeto más grande, si usted trata de que parte de sí mismo como punto de similar) y $\mathbf{p}$ de su momento lineal.

En una dimensión, la de la cruz del producto como una operación matemática no está definido y no tiene sentido, mientras que para un punto-como partícula, $\mathbf{r} || \mathbf{p} $ siempre están en paralelo, por lo que el producto vectorial es cero. El momento angular sólo tiene sentido, a continuación, cuando se trata de con (generalmente 3D) de los objetos de tamaño finito.

Si ahora repita el proceso de dividir el objeto en partes más pequeñas y el dibujo de los correspondientes vectores y la cruz de productos, usted se dará cuenta de la suma del momento angular de los componentes, en realidad, no son igual a cero. Todavía se conserva, sin embargo, por lo que la segunda ley de Newton es generalizada en ese sentido. La conservación del momento angular sigue directamente de la conservación de momento lineal, con la simple mención de su definición y el cálculo de sus derivados.

Sólo por conveniencia, el torque se define en este contexto como $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$, pero esto es simplemente para facilitar la notación.

0voto

La Ley de Newton, cuando se aplica a los sistemas de rotación, como el suyo, son diferentes a los de la traslación de la ley, seguro que estás acostumbrado a ver. La 2ª Ley es

$$ \vec{N} = \frac{d\vec{L}}{dt} = \sum_i \vec{r_i}\times \vec{F_i} $$

$\vec{N}$ aquí denota el par, que es igual al tiempo derivada del momento angular. $\vec{r}_i$ son los vectores de posición del eje de rotación a la que se apliquen fuerzas, y, por supuesto, $\vec{F}_i$ son las fuerzas aplicadas.

Por lo tanto, lo que tenemos aquí es como cuando usted suma la traslación de las fuerzas que actúan sobre un bloque en una rampa, o algo similar. Aquí simplemente ver que es más grande, $\vec{r}_1\times\vec{F}_1$ o $\vec{r}_2\times\vec{F}_2$, y la mayor par te de inducir la aceleración angular en la dirección de la torsión.

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