8 votos

Cómo justificar la existencia de una función, en general?

Tal vez soy demasiado ingenuo en esta pregunta, pero creo que es importante, y me gustaría saber su respuesta. Así, por ejemplo, siempre veo que la gente simplemente escribir algo como "vamos a $f:R\times R\longrightarrow R$ tal que $f(x,y)=x^2y+1$", o por ejemplo "Vamos a $g:A\longrightarrow A\times \mathbb{N}$ tal que para cada función se $f:\mathbb{N}\longrightarrow A$ tenemos $g(f(n))=(f(n),n)$)". Nunca justificar la existencia, sino que se asume que la función existe. Así que mi pregunta es ¿por qué? ¿Cómo se puede justificar la existencia?

5voto

jmans Puntos 3018

Esta es una buena pregunta. Para abordar adecuadamente que las necesidades de un ser muy precisos acerca de lo que una función es y lo que significa tener definido/construido. Así, en la era moderna se define una función para ser una triple $(A,f,B)$ donde $A,B$ son conjuntos y $f\subseteq A\times B$ es una relación de$A$$B$. Escribimos $f(x)=y$ como abreviación $(x,y)\in f$. La condición de la relación de las necesidades a satisfacer con el fin de ser llamado a una función es para todos $x,y,z$: $f(x)=y$ junto con $f(x)=z$ implica $y=z$.

Así que ahora las cosas se reducen a los conjuntos. Así, cuando decimos que hemos definido o construido un conjunto válido? Bien, para responder a preguntas que debemos ser muy precisos acerca de lo que los conjuntos son. Que es difícil. Hay diferentes axiomatization y un buen montón de complejos de resultados en relación con los fundamentos de la teoría de conjuntos. Así que, aquí está un poco sin llegar técnica. La definición de lo que establece son bastante desesperada, ya que lo que en la tierra se puede definir conjuntos en términos de? Lo que es más primitivo que un conjunto? (si usted tiene una buena respuesta, por favor escribir un artículo sobre ello). En su lugar, se abandona la idea de la definición de lo que establece son, y en lugar de adoptar el enfoque axiomático. No decimos lo que establece son, nos dicen lo que podemos hacer con conjuntos.

Bueno, eso es bastante bueno, ya que queremos saber que ciertos conjuntos de existir, por lo que si sabemos lo que podemos hacer con los juegos, tal vez podemos mostrar que existe siguiendo las reglas que nos indican cómo construir conjuntos. Resulta que esto funciona bastante bien, después de un poco de trabajo de la introducción de todo lo que se necesita.

Ahora, hay una regla de construcción de los conjuntos que le dice que si tiene una fórmula, como $x^2y+1$, entonces usted puede construir un conjunto que consta de todos los pares $(x,y)$ de los números reales que satisfacen esta fórmula. Por lo tanto, tenemos un candidato para la función de $(\mathbb R,f,\mathbb R)$, sólo tenemos que verificar que este conjunto $f$, de hecho, cumple la condición de ser una función (que hace de la fórmula que usted menciona). También hay reglas para la construcción de conjuntos que permiten dar definiciones recursivas de funciones.

Así, el 'estándar' maneras de construir funciones son justificados por la teoría de conjuntos axiomática. Cabe señalar sin embargo que no hay un modelo de la teoría de conjuntos es conocido, y que si uno es que se ha encontrado de inmediato va a implicar que la teoría es inconsistente. Así, las bases son difíciles. No hemos de descartar que la matemática está libre de contradicciones, y nunca lo haremos. Pero, parece aceptar.

3voto

Dylan Yott Puntos 4464

Para el primer ejemplo, una función existe, porque te has nos dijo explícitamente lo $f(x,y)$ debe ser para cada uno de los $x$$y$. Por otro lado, $g$ puede o no puede existir. No está claro de inmediato qué hacer con $g(x)$ para un determinado $x$.

2voto

CallMeLaNN Puntos 111

Su primer ejemplo es el de la composición de los diferentes valores de las funciones. Por simplicidad, permite refundición como $f(x)=xxy+1$. Es sólo la composición de funciones conocidas: la multiplicación y la adición de los números reales. La multiplicación de los mapas de cada par de números reales a un número real. Asimismo, para la adición. (Las cosas se ponen más complicadas, con la división y exponenciación.) Así, es fácil comprobar que para cada par de números reales $x$ y $y$, $xxy+1$ le da un número real, y que $f$ es de hecho una función.

No todas las funciones están definidas en términos de simple composiciones de funciones conocidas, sin embargo. Si usted está comenzando desde, por ejemplo, los Axiomas de Peano, y quieres probar la existencia de una función de adición de los números naturales, se tendría que construir un adecuado subconjunto $A$ del conjunto de ordenadas ternas de números naturales (difícil!) y probar que:

$\forall a,b\in N (\exists c\in N((a,b,c)\in A))$

$\forall a,b,c_1, c_2\in N((a,b,c_1)\in A\land(a,b,c_2)\in A \rightarrow c_1=c_2)$

Entonces usted tendría derecho a utilizar la notación de función $A: N^2 \rightarrow N$ o (mi preferencia) $\forall a,b\in N (A(a,b)\in N)$. Luego, por supuesto, usted tendrá que probar que la función de $A$ tiene todas las propiedades necesarias de un complemento de la función: asociatividad, conmutatividad, etc.

Por CIERTO, ese subconjunto $A$ es que:

$\forall a,b,c ((a,b,c)\in A \leftrightarrow (a,b,c)\in N^3$

$\land \forall d\in P(N^3) (\forall e\in N ((e,1,s(e)\in d))$

$\land \forall e,f,g\in N ((e,f,g)\in d \rightarrow (e,s(f),s(g))\in d)$

$ \rightarrow (a,b,c)\in d)))$

donde $1$ es el primer número natural y $s$ es lo habitual en la función sucesor.

A partir de esta construcción, se puede derivar:

$\forall a\in N (A(a,1)=s(a)$

$\forall a,b\in N (A(a,s(b))=s(A(a,b)))$

1voto

i08in Puntos 12077

En general, basta probar que para su función, cada una de las $x$ en los mapas de dominio a exactamente un $f(x)$ en el codominio. Suponiendo la existencia de una función es por tanto equivalente a asumir esta propiedad, que es más bien trivial demostrar en la mayoría de los casos (pero no en todos; Cantor-Bernstein es un ejemplo notable, donde la existencia de una función con ciertas propiedades es no-obvio).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X