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Conjuntos cerrados como conjuntos compactos

Mientras que jugando con algunos conceptos básicos de la topología general, he pensado en algunos de los problemas cuyas soluciones no son tan obvias (al menos para mí), y, sorprendentemente, no recuerdo haber visto estos en cualquier lugar.

Descargo de responsabilidad #1 : ya he publicado los problemas en otros lugares, pero tuve mala suerte y no ha recibido respuesta.

Descargo de responsabilidad #2 : El francés y el inglés nociones de conjuntos compactos son muy diferentes. Voy a tratar de escribir bien (y que podría ser en realidad más fácil en inglés).

Así que, tomemos cualquier espacio topológico $(X, T)$. Como una cuestión de prophylaxy, voy a suponer que $X$ no está vacío. Un subconjunto $K$ $X$ se dice compacto si, de cualquier cobertura de $K$ por la apertura de los conjuntos que uno puede extraer de un número finito de sub-cubierta.

Mi primera pregunta es: Cuando son los subconjuntos compactos para la topología $T$ los subconjuntos cerrados por otra topología $T^*$ (modulo de todo el espacio $X$)?

Trivialmente, cualquier finito de la unión de los subconjuntos compactos es compacto. Si la intersección de los subconjuntos compactos es compacto, entonces el conjunto de los subconjuntos compactos $X$ son los subconjuntos cerrados para algunos topología $T^*$$X$. Uno puede ver al abrir los subconjuntos de a $(X,T^*)$ como abrir los barrios de la infinidad de la Alexandroff compactification de $(X, T)$, sin que dijo el infinito. Si $(X,T)$ es Hausdorff, entonces la intersección de conjuntos compactos es compacto (esto es debido a que el pacto establece a continuación, se cierran). Sin embargo, esta condición no es necesaria: con el grueso o cofinite topología, cualquier subconjunto compacto, de modo que la intersección de los subconjuntos compactos es compacto. Hacer de los espacios topológicos para que esta propiedad tiene un nombre, o una caracterización?

Mi segunda pregunta es: Suponiendo que la propiedad se ha comentado anteriormente está satisfecho, ¿hay algo interesante que decir acerca de la operación $T \to T^*$?

Por ejemplo, si $T$ tiene la propiedad de que cualquier intersección de los subconjuntos compactos es compacto, entonces no $T^*$ tienen la misma propiedad? Esto sería importante, ya que nos permitiría repetir la operación $T \to T^*$. Además, parece que $T^*$ puede ser visto, en algunos casos, como la topología de doble en $X$. Si $T$ es el grueso de la topología en $X$, $T^*$ es la topología discreta, y $T^{**}$ es el cofinite topología. A continuación, la secuencia se estabiliza, como $T^{***}$ es de nuevo la topología discreta. En forma similar, Si $T$ es lo habitual en la topología en $\mathbb{R}^d$, creo (no he escrito el argumento correctamente) que $T=T^{**}$. Son aquellos casos especiales, o hay un patrón más general?

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DiGi Puntos 1925

No tengo una respuesta a la primera pregunta, pero me puede mostrar que la propiedad deseada no es necesariamente preservado por la $\tau\mapsto\tau^*$ operación. (Bloqueo mental hipo, de todos modos: mantener un seguimiento de estas topologías se un poco de dolor.)

He aquí un ejemplo de un no-Hausdorff KC-espacio de $\langle X,\tau\rangle$ tal que $\langle X,\tau^*\rangle$ es también un no-Hausdorff KC-espacio, sino $\langle X,\tau^{**}\rangle$ no tiene la propiedad deseada: $\langle X,\tau^{**}\rangle$ es el espacio obtenido al dividir el punto de $\omega_1$ en dos en el compacto de Hausdorff espacio de $\omega_1+1$ (con el fin de topología), como se hace en la construcción de la línea con dos orígenes. El espacio de $\langle X,\tau\rangle$ fue construido originalmente por el proyecto de Ley Fleißner como un ejemplo de un KC-espacio cuya topología no contiene un mínimo de KC-topología.

Deje $p$ $q$ dos puntos que no están en $\omega_1$, y deje $X=\omega_1\cup\{p,q\}$. Deje $\tau_0$ ser el fin de la topología en $\omega_1$. Deje $I=\{0\}\cup\{\xi+1:\xi\in\omega_1\}$, el conjunto de puntos aislados de a $\omega_1$. Para $\alpha<\omega_1$ vamos $$B_\alpha(p)=\{p\}\cup I\setminus\alpha\text{ and }B_\alpha(q)=\{q\}\cup I\setminus\alpha\;,$$ and let $\tau$ be the topology on $X$ generated by the base $$\tau_0\cup\{B_\alpha(p):\alpha<\omega_1\}\cup\{B_\alpha(q):\alpha<\omega_1\}\;.$$ Let $\mathscr{K}_0$ be the set of $\tau_0$-compact subsets of $\omega_1$; $\mathscr{K}_0$ is simply the set of countable $\tau_0$-closed subsets of $\omega_1$. Let $\mathscr{K}\;$ be the set of $\tau$-compact subsets of $X$; clearly $$\mathscr{K}=\big\{K\cup F:K\in\mathscr{K}_0\land F\subseteq \{p,q\}\big\}\;,$$ which is precisely the set of countable $\tau$-closed subsets of $X$, and it follows that $$\tau^*\triangleq\{X\setminus K:K\in\mathscr{K}\;\;\}\cup\{\varnothing\}$$ is a topology on $X$. Vamos $\tau_0^*=\tau^*\cap\wp(\omega_1)\setminus\{\varnothing\}$; $\tau_0^*$ es el conjunto de co-contable $\tau_0$a abrir los subconjuntos de a $\omega_1$, e $$\tau^*=\big\{V\cup F:V\in\tau_0^*\land F\subseteq \{p,q\}\big\}\cup\{\varnothing\}\;.$$

Deje $\mathscr{K}\;^*$ el conjunto de $\tau^*$-compacto subconjuntos de $X$; $$\mathscr{K}\;^*=\mathscr{K}\cup\big\{C\cup F:C\subseteq\omega_1\text{ is a }\tau_0\text{-cub} \land F\subseteq \{p,q\}\big\}\;.$$

Claramente $\tau^{**}\triangleq \{X\setminus K:K\in\mathscr{K}\;^*\}$ es una topología en $X$, y no es difícil ver que $$\tau^{**}=\big\{V\cup F:V\in\tau_0\land F\subseteq\{p,q\}\big\}\subsetneqq\tau\;.$$

Los subespacios $\omega_1\cup\{p\}$ $\omega_1\cup\{q\}$ $\langle X,\tau^{**}\rangle$ son homeomórficos de una manera obvia para el compacto de Hausdorff espacio de $\omega_1+1$ (con el fin de topología), y $\langle X,\tau^*\rangle$ por lo tanto $\omega_1+1$ con el punto de $\omega_1$ dividido en $p$$q$, como se mencionó anteriormente.

Por último, vamos a $\mathscr{K}\;^{**}$ el conjunto de $\tau^{**}$-compacto subconjuntos de $X$; $$\mathscr{K}\;^{**}=\mathscr{K}\cup\big\{C\cup F:C\subseteq\omega_1\text{ is a }\tau_0\text{-cub} \land\varnothing\ne F\subseteq \{p,q\}\big\}$$ and is not closed under intersections, since $X\setminus\{p\},X\setminus\{q\}\in\mathscr{K}\;^{**}$, but $X\setminus\{p,q\}\notin\mathscr{K}\;^{**}$.

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