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Probabilidad de que 3 puntos en un plano forma un triángulo

Esta pregunta fue hecha en un examen y tengo derecho. La respuesta clave,$\frac12$.

Problema: Si 3 puntos distintos son elegidos en un avión, encontrar la probabilidad de que se forme un triángulo.

Intento 1: El 3er punto de ser colineales o no-alineados con los otros 2 puntos. Por lo tanto la probabilidad es $\frac12$, suponiendo que la colinealidad y la no colinealidad de los 3 puntos son igualmente probables eventos.

Intento 2: Ahora supongamos que tomamos el punto medio (decir $M$) de 2 de los puntos (decir $A$$B$). Podemos dibujar un número infinito de líneas que circulan a través de $M$, de los cuales sólo 1 línea pasará a través de$A$$B$. Manteniendo este en mente, podemos elegir el 3er punto de $C$ en ninguna de esas infinitas líneas, excluyendo los que pasa a través de $A$$B$. Ahora parece como si la probabilidad se tiende a 1.

Lo que está mal con el intento de 2? O es la respuesta en realidad 1 y no $\frac12$?

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Matthew Scouten Puntos 2518

No hay tal cosa como una distribución uniforme en el avión. Sin especificar de qué manera los puntos son elegidos, la pregunta no está correctamente indicado. Sin embargo, si los puntos son elegidos independientemente de algunos de distribución continua (absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue), la probabilidad de que el tercer punto de la mentira exactamente sobre la línea a través de los dos primeros es $0$.

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pete Puntos 1

No se puede decir nada acerca de esto mientras no se ha dicho nada acerca de la distribución (justificando el comentario de angryavian).

Las expresiones "al azar" o "elegidos" no hablan por sí mismos porque no es natural distribución uniforme en $\mathbb R^2$.

Si la distribución es absolutamente continua respecto de la medida de Lebesgue (es decir, si la distribución tiene un PDF), a continuación, automáticamente la respuesta es $1$ debido a que cada línea en el plano $\mathbb R^2$ tiene medida de Lebesgue $0$ (que es probablemente lo Kaj quiere decir).

Así, en el caso de que por cualquier línea fija la probabilidad de que el tercer punto es elegido es igual a $0$.

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Lolgast Puntos 287

Esto es similar a esta probabilidad "broma":

Dado un bol con 9 bolas negras y 1 bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que tienes que elegir una bola blanca? $\frac{1}{2}$, ya sea que usted escoja o no.

Mientras que de hecho hay tanto $\infty$ puntos son colineales y $\infty$ en puntos que no son colineales, que no está muy el mismo $\infty$, lo $\frac{\infty}{\infty+\infty}\neq \frac{1}{2}$. (Ver también Hilbert del Hotel en los diferentes niveles de infinito)

Como cuestión de hecho, ya que por puntos colineales, la elección de $x$ corrige la elección de $y$, sólo hay un nivel de infinito. Para los no-alineados los puntos, sin embargo, hay dos niveles de infinity: Tanto en $x$ $y$ puede tomar infinitos valores. Por lo tanto, $\frac{P(\textrm{collinear})}{P(\textrm{non-collinear})}=\frac{1}{\infty}$, lo que tiende a cero. En otras palabras, $P(\textrm{non-collinear})\approx 1$.

8voto

mikeagg Puntos 171

Yo no veo nada de malo con el razonamiento en el Intento 2, pero 1 Intento es todo tipo de mal.

Sólo porque hay dos resultados posibles, de ello no se sigue que la probabilidad de que uno de ellos es de 0,5. Este es el caso solamente cuando cada uno de los resultados es tan probable como la de otros, tales como con una sacudida de moneda.

Para elegir aleatoriamente a un tercer punto, fuera de todo el número infinito de puntos en la llanura, que resulta estar exactamente sobre la línea AB es muy raro. Infinitamente improbable, de hecho. La probabilidad de un triángulo = 1.

7voto

CiaPan Puntos 2984

No es obvio, natural de la distribución de probabilidad de "la elección de los puntos de un plano". Por lo tanto, una cuestión de partida como

Si 3 puntos distintos son elegidos en un avión, ¿cuál es la probabilidad de...

sin indicar un método específico de la elección de puntos hace ningún sentido, y las dos únicas respuestas que puedo pensar son "la probabilidad es de todos los que puedas pensar' o simplemente 'bajar'.

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