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Hay un significado general de un Campo Cuántico?

En la presentación tradicional, de Campos Cuánticos se presentan usualmente como operador de valores de los campos definidos en el espacio-tiempo, en el sentido de que $\varphi : M\to \mathcal{L}(\mathcal{H})$ para un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$.

Por otro lado, recientemente he leído que Cuántica de los Campos debe ser adecuadamente definida como operador de valores de las distribuciones, y yo creo que, si he entendido correctamente, esto tiene que ver con una manera de lidiar con el problema de los infinitos que se asocia generalmente a QFT. La única diferencia es que ahora tenemos un espacio de funciones de $\mathcal{D}(M)$, por lo que el $\varphi : \mathcal{D}(M)\to \mathcal{L}(\mathcal{H})$.

De todos modos, independientemente si definimos los campos como las funciones de los eventos de $\varphi(x)$ o funcionales en las funciones de $\varphi(f)$, el punto es que $\varphi$ devuelve un operador.

Ahora, en la Mecánica Cuántica, hay dos tipos principales de operadores que tienen muy claro el significado. Las características observables son hermitian operadores, y aquellos que representan cantidades físicas por un postulado de la teoría.

Así que cuando tenemos un observable $A$ es porque sabemos de una cantidad física $A$ y el operador representa la cantidad, por lo que su espectro es el conjunto de valores permitidos y sus eigenkets son los estados con valores definidos de dicha cantidad. Todo está perfectamente claro.

El otro tipo de operador que hablo son la central unitaria de operadores que normalmente representan las transformaciones que actúa sobre el sistema, como translaciones, rotaciones y así sucesivamente. El significado está claro.

Ahora, en QFT, siempre que tenemos un campo de $\varphi: \mathcal{D}(M)\to \mathcal{L}(\mathcal{H})$, $\varphi(f)$ es un operador. ¿Cuál es el significado de dicho operador?

He oído que es un observable. Pero si es un observable, ¿qué magnitud física que representa?

No es del todo claro para mí lo que los operadores de $\varphi(f)$ representan, ni cuál es su acción. Y por último, ¿cómo todo esto se conecta a la tradicional de la Mecánica Cuántica?

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Sora Puntos 113

Lo $\phi(x)$ representa depende de qué "tipo" de campo es: Si es que el campo eléctrico de electromagnetismo, a continuación, $\phi(x)$ corresponde a la observables "campo eléctrico en el $x$". Si es un Dirac fermión campo como el de la electrónica de campo o un complejo de escalar, a continuación, $\phi(x)$ no es Hermitian y por lo tanto no observables - y no sé de ningún otro "significado". Si es un escalar o un verdadero campo vectorial, entonces es un observable, pero no es necesariamente claro a qué cantidad podemos medir realmente corresponde.

Sin embargo, hay una muy importante y muy genérico significado a los operadores de campo: a Través de la LSZ fórmula de reducción, la expectativa de los valores de los productos de los operadores de campo son el ingrediente esencial en la dispersión de las amplitudes.

Por último, es difícil responder a la pregunta de cuál es la "acción" de un operador de campo es debido a que los espacios de Hilbert de la mayoría de la interacción del campo de las teorías son desconocidos en el sentido de que no sabemos cómo en realidad la construcción. La mayoría de los estados podrá ver en un estándar de la teoría cuántica de campos supuesto vivir en el asintótica libre Fock espacios, donde el campo es la transformada de Fourier de la creación/annhiliation operadores y su acción es razonablemente claro.

3voto

Vijay Puntos 113

Complementario a ACuriousMind la respuesta (en particular, la observación crucial que lo experimentos de física de partículas medida de la dispersión de las amplitudes, por lo tanto el experimental relevancia de los campos cuánticos surge principalmente de la LSZ fórmula), y en el espíritu de Robin Ekman comentario, también se puede pensar cuántica de campos como la construcción de bloque de los operadores, a partir de la cual construir reales observables en un espacio de Fock.

Para un libre, enorme, complejo campo escalar $\Psi(x) = \Psi_{\text{part}}(x) + \Psi^{\dagger}_{\text{anti-part}}(x)$ en el espacio de Fock $\mathcal{F} = \mathcal{F}_{\text{part}} ⊗ \mathcal{F}_{\text{anti-part}}$, esto funciona como sigue:

Una partícula subespacio

Deje $\mathcal{H}_{\text{1 part}}$ ser el subespacio del espacio de Fock $\mathcal{F}_{\text{part}}$ se extendió por los estados que contienen exactamente 1 de partículas. Un pseudo-base que pueden ser marcadas por impulsos $p$ sobre la masa de la cáscara, con la normalización (uso de Weinberg convenios): $$ \left\langle p \medio| p' \right\rangle = \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}^{\prime}) $$

Deje $A$ ser algunos Hermitian operador en $\mathcal{H}_{\text{1 part}}$ (es decir. 1-partículas observables) y, por simplicidad, suponga que $A$ ha discreta del espectro, por lo que tenemos una base ortonormales de $\mathcal{H}_{\text{1 part}}$ hecho de vectores propios: $$ \left| \psi_k \right\rangle = \int d^{(3)}\vec{p}\; \tilde{\psi}_k(\vec{p}) \left| p \right\rangle $$ con los correspondientes autovalores $\lambda_k$.

La integral del núcleo de $A$ es entonces: $$ \tilde{A}(\vec{p},\vec{p}^{\prime}) := \sqrt{2 E(\vec{p}) 2 E(\vec{p}^{\prime})} \sum_k \tilde{\psi}_k(\vec{p}) \tilde{\psi}^*_k(\vec{p}^{\prime}) $$ o, en la posición de la representación (en el $t=0$ segmento de tiempo): $$ Un(\vec{x},\vec{x}^{\prime}) := \int \frac{d^{(3)}\vec{p} \, d^{(3)}\vec{p}^{\prime}}{(2\pi)^3} e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x} - \vec{p}^{\prime}\cdot\vec{x}^{\prime})} \tilde{A}(\vec{p},\vec{p}^{\prime}) $$

Creación/aniquilación de los operadores

Una base del espacio de Fock $\mathcal{F}_{\text{part}}$ construido en $\mathcal{H}_{\text{1 part}}$ puede ser dada en términos de números de ocupación sobre la base de la $\big( \left| \psi_k \right\rangle \big)_k$: $$ \left| \left( N_k \right)_k \right\rangle := \text{normalizado de la simetrización de la } \left| \psi_1 \right\rangle^{(1)} \otimes \dots \otimes \left| \psi_1 \right\rangle^{(N_1)} \otimes \dots \otimes \left| \psi_K \right\rangle^{(N_K)} $$ El cambio de la norma de impulsión de pseudo-base en esta $A$adaptados a la base, uno puede comprobar que los operadores: $$ a_{\text{parte},k} := \int d^{(3)}\vec{p}\; \tilde{\psi}^*_k(\vec{p}) a_{\text{parte}}(p) \;\&\; a^{\daga}_{\text{parte},k} := \int d^{(3)}\vec{p}\; \tilde{\psi}_k(\vec{p})^{\daga}_{\text{parte}}(p) $$ aniquilar, resp. crear, una partícula en el estado $\left| \psi_k \right\rangle$.

Segunda cuantización de $A$

La partícula parte de la cuántica complejo campo escalar es dada como: $$ \Psi_{\text{parte}}(x) := \int \frac{d^{(3)} \vec{p}}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2E(\vec{p})}} e^{i p \cdot x} a_{\text{parte}}(p) $$ por lo tanto, poner todo junto, obtenemos: $$\boxed{ \hat{A} := \int_{t=0} d^{(3)}\vec{x}\, d^{(3)}\vec{x}^{\prime}\; \Psi^{\daga}_{\text{parte}}(\vec{x},0)\, (\vec{x},\vec{x}^{\prime})\, \Psi_{\text{parte}}(\vec{x}^{\prime},0) = \sum_k λ_k \hat{N}_{\text{parte},k} }$$ donde $\hat{N}_{\text{part},k} := a^{\dagger}_{\text{part},k} a_{\text{part},k}$ mide el número de partículas en el estado $\left| \psi_k \right\rangle$.

Por ejemplo, para una región $U$ $t=0$ segmento de tiempo, $$ \int_{t=0, \vec{x} \en U} d^{(3)}\vec{x}\; \Psi^{\daga}_{\text{parte}}(\vec{x},0) \Psi_{\text{parte}}(\vec{x},0) $$ mide el número de partículas en $U$ (el correspondiente a 1 de partículas operador $A$ ha espectro de $\{0,1\}$ $(λ=1)$- subespacio propio ser distribuido por la onda-funciones de apoyo en $U$).

Surtido de comentarios

  • Por supuesto, el $t=0$ slice no se distingue: desde Poincaré-invariancia es incorporado, usted puede cambiar a cualquier espacio, como una rebanada de espacio de Minkowski (y, suponiendo que yo tengo todos los de la normalización de los factores de la derecha, esta debe ir sin problemas; no hay garantía de que yo, aunque...).

  • El "medio campo" $\Psi_{\text{part}}(x)$ se puede en sí mismo ser reconstruido a partir de $\Psi(x), \partial_t \Psi(x)$ (esto es más fácil de ver en la transformada de Fourier). En forma similar, el subyacente $\Psi_{\text{part}}(x)$ puede ser reconstruido a partir de una real escalar campo $\Phi(x) = \Psi_{\text{part}}(x) + \Psi^{\dagger}_{\text{part}}(x)$.

  • Estoy bastante seguro de que este razonamiento se puede generalizar a otros tipos de libres de los campos, con cuidado, utilizando una adecuada representación intertwinner para convertir entre spin y números de los componentes del campo (incluso si el campo es fermionic, las características observables construido de esta manera, se cuadrática en el campo, son bosonic, por lo que deben estar físicamente en ok (aceptar).

  • Como se ha mencionado por ACuriousMind, para la interacción de los campos, este Fock imagen es válido sólo asintóticamente.

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