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Un número entero positivo se reduce en 9 veces, cuando uno de sus dígitos es eliminado....

Un número entero positivo se reduce en 9 veces, cuando uno de sus dígitos es eliminado y el número resultante sea divisible por 9. Probar que para dividir la resultante de la número 9, de nuevo, es suficiente para eliminar a uno de los dígitos. Encontrar todos los números.

Estoy completamente desorientado en cuanto a cómo esta pregunta puede ser resuelto. Necesito una pista para empezar a resolver esto.

Nota:

La única cosa que puedo pensar es que el número de eliminados el primer tiempo es de 0 o 9. De acuerdo a la divisibilidad de la regla de la suma de los dígitos debe ser un múltiplo de 9, si no. es divisible por 9. Si la suma de los dígitos de ambos el número 1 y el número 2 es un múltiplo de 9, a continuación, la eliminan los dígitos es, seguramente, 9 o 0.

vamos los 3 a nos. ser $a,b,c$.

$a=9b$
$b=9c$

Por lo tanto, $81|a$

15voto

Technophile Puntos 101

Habiendo establecido que el número original es divisible por 9, el borrado de dígitos debe ser 0 o 9, porque sólo estas dos dígitos pueden salir de la suma de dígitos es divisible entre 9. Llame a la eliminada de dos dígitos $d$ y se supone que es en el $10^k$ lugar: $$aaa\dots adb\dots bbb=A\cdot10^{k+1}+d\cdot10^k+B$$ $$aaa\dots ab\dots bbb=A\cdot10^k+B$$ $$A\cdot10^{k+1}+d\cdot10^k+B=9(A\cdot10^k+B)$$ $$10A\cdot10^k+d\cdot10^k+B=9A\cdot10^k+9B$$ $$A\cdot10^k+d\cdot10^k=8B$$ $$8B=(A+d)\cdot10^k$$ $$B=(A+d)\cdot\frac{10^k}8$$ Sin embargo, no por nuestras obras de construcción por encima de nosotros debe tener $B<10^k$, por lo que $$(A+d)\cdot\frac{10^k}8<10^k$$ $$A+d<8$$ Si $d=9$ $A$ estaría obligado a ser negativo, lo cual es imposible. Por lo tanto $d=0$, $A<8$ y todos los números que satisfagan las condiciones en la primera parte de la pregunta son de la forma $$N=A\cdot10^{k+1}+A\cdot\frac{10^k}8,\ 0<A<8,\ k\ge3-\log_2\gcd(A,8)$$ La restricción en $k$ asegura que $A\cdot\frac{10^k}8$ es un número entero. $A$ no puede ser cero, porque $N$ empezaría con un cero.

Los números de $N$ de caída en siete clases, dependiendo de lo $A$ es: $$A=1: N=10125\cdot10^{k-3}$$ $$A=2: N=2025\cdot10^{k-2}$$ $$A=3: N=30375\cdot10^{k-3}$$ $$A=4: N=405\cdot10^{k-1}$$ $$A=5: N=50625\cdot10^{k-3}$$ $$A=6: N=6075\cdot10^{k-2}$$ $$A=7: N=70875\cdot10^{k-3}$$ Independientemente de lo $k$ es, la división por 9 no toque los ceros a la derecha, por lo que podemos ignorar. Dividiendo $N$ 9 elimina el cero que es el segundo desde la izquierda, la producción de los siguientes prefijos, y dividiendo por 9 de nuevo se puede lograr mediante la eliminación de el dígito izquierdo: $$\require{cancel}A=1:\cancel1125\ldots\to125\dots$$ $$A=2:\cancel225\ldots\to25\dots$$ $$A=3:\cancel3375\ldots\to375\dots$$ $$A=4:\cancel45\ldots\to5\dots$$ $$A=5:\cancel5625\ldots\to625\dots$$ $$A=6:\cancel675\ldots\to75\dots$$ $$A=7:\cancel7875\ldots\to875\dots$$ Por lo tanto la prueba solicitada por la pregunta, que $\frac N{81}$ puede ser alcanzado mediante la eliminación de un solo dígito de $\frac N9$, ha sido demostrado.

4voto

Shabaz Puntos 403

Escribir el primer número de la $10^{n+1}a+10^nb+c$ donde $b$ es el dígito que va a ser eliminado, $c$ $n$ dígitos, y $a$ puede tener varios dígitos. Se nos dice que $10^{n+1}a+10^nb+c=9(10^na+c)$$10^{n-1} \le c \lt 10^n$. Esto le da a $8c=10^n(a+b)$, lo que muestra $a+b \le 7$. El hecho de que la supresión de un dígito no estropear la divisibilidad por $9$ muestra que $b=0$ $b=9$ está prohibido. Si tomamos $a=1,b=0$ encontramos que el número es de $10125$ con muchos ceros a la derecha como se desee. De igual manera debemos encontrar las soluciones $2025,30375,405,50626,6025,70875$, todo lo cual puede ser multiplicado por $10^k$. Eliminar el segundo dígito $0$ al hacer la primera división por $9$ y el primer dígito de la segunda división por $9$.

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