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¿Es la raíz cuadrada de -1 racional?

Esta no es una pregunta profunda, pero si hay una respuesta definitiva, aquí es el lugar donde la encontraré.

¿Está justificado decir que $i =\sqrt{-1}$ ¿es racional?

El origen de esta pregunta está en una discusión habitual que tengo sobre este camiseta mía:

Get Real / Be Rational

Aunque es obvio $\pi$ El comentario de la Sra. Baker es completamente legítimo, $\sqrt{-1}$ podría ser hipócrita, si la racionalidad de $\sqrt{-1}$ es cuestionable.

35voto

Cagri Puntos 61

Es un Número racional gaussiano pero no es racional en el sentido convencional de la palabra porque los números racionales son reales.

21voto

Austin Mohr Puntos 16266

El número $\sqrt{-1}$ no es real. Como los racionales son sólo un tipo particular de número real, tampoco puede ser racional.

Otra forma de verlo: ¿Había enteros $a$ y $b$ tal que $\sqrt{-1} = \frac{a}{b}$ entonces $$ -1 = \frac{a^2}{b^2}, $$ y así $$ a^2 = -b^2. $$ Desde $b^2$ es ciertamente positivo, eso significa que $a^2$ es ciertamente negativo, lo cual es imposible.

18voto

mkoryak Puntos 18135

Haciéndose eco de lo que ya han dicho otras personas: no $i= \sqrt{-1}$ no es un número racional.

Usted tiene $$ \begin{align} &\mathbb{C} \;\text{ the complex numbers}\\ &\cup \\ &\mathbb{R} \;\text{ the real numbers}\\ &\cup \\ &\mathbb{Q} \;\text{ the rational numbers}\\ &\cup \\ &\mathbb{Z} \;\text{ the integers}\\ &\cup \\ &\mathbb{N} \;\text{ the natural numbers} \end{align} $$ Aquí el $\cup$ denota que el inferior está contenido en el superior. Así, por ejemplo, todos los números reales son números complejos. Y: un número entero es un número real. Obsérvese que, por ejemplo, no todos los números complejos son números reales. No todos los números complejos son números racionales. No todos los enteros son números naturales.

Así que la pregunta ahora es si $i = \sqrt{-1}$ (que es un número complejo) es un número racional. Y aquí notamos primero que los números racionales son aquellos números que pueden ser expresados como una fracción $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son números enteros (por tanto, pertenecen a $\mathbb{Z}$ ) ( $b\neq 0$ ). Así es $i = \frac{a}{b}$ para cualquier número entero $a$ y $b$ ? Como se indica en la excelente respuesta de Austin, se puede demostrar que, efectivamente, la respuesta es no.

Para tener algo en lo que pensar, quizá puedas responder a la pregunta: ¿Es $\sqrt{2}$ un número racional? (Puede encontrar la respuesta aquí en M.SE ).

7voto

Novarum Puntos 29

$\sqrt{-1} = i$ es un número imaginario, que no se encuentra en ningún lugar de la recta numérica real. Por lo tanto, como han dicho otros, no es ni racional ni irracional en el sentido habitual de estas palabras.

Para comentar la gramática específica de la camisa: $\pi$ El imperativo de la frase es "hazte realidad", que yo diría que tiene la connotación de "únete al grupo [del hablante]". Es evidente que esto tiene sentido, ya que $\pi$ es un número real. $i$ Por otro lado, sólo dice "ser racional", lo que yo diría que carece de la connotación de unirse al grupo de hablantes; en cambio, $i$ sólo está implorando $\pi$ para unir los racionales, sin implicar $i$ de los miembros.

4voto

M. Strochyk Puntos 7072

Más bien $\sqrt{-1}$ es el número algebraico pero no racional.

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