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¿Un número negativo elevado al cuadrado es negativo?

$-3^2 = -9$

Encontré este problema mientras hacía un repaso de álgebra en el libro La guía completa para idiotas del álgebra . Le pregunté a mi hermano ingeniero este problema y se equivocó. Una búsqueda en Google de por qué un número negativo al cuadrado es negativo Obtengo resultados contradictorios.

Google presenta un extracto de un sitio que dice lo contrario. "Esto se debe a que elevar al cuadrado un número sólo significa multiplicarlo por sí mismo. Por ejemplo, $(-2)$ al cuadrado es $(-2)(-2) = 4$ . Nótese que esto es positivo porque cuando se multiplican dos números negativos se obtiene un resultado positivo". - Esto, por supuesto, es exactamente lo contrario de lo que se preguntó, pero es la respuesta dada.

El tercer elemento de los resultados de búsqueda de Google ofrecía un foro de matemáticas en el que el moderador, un tal Doctor Rick, afirma que si se interpreta como -3^2 o -(3)^2 es una diferencia de opinión. Es matemática. ¿Cómo puede ser una cuestión de opinión? Si se utiliza una ecuación para calcular el aterrizaje de una nave espacial, o la ingeniería del diseño de un puente, una diferencia de opinión sobre cómo calcularla podría resultar catastrófica.

El profesor de matemáticas de la escuela secundaria que escribió La guía completa para idiotas del álgebra presentó esta pregunta como "cuidado, esta es complicada" específicamente para enseñar esta situación, pero ya que parece haber cierta confusión en cuanto a cuál es la forma correcta de calcular esto.

Mi calculadora científica me dice que es 9. En otra pregunta aquí en SE sobre calculadoras con este mismo problema, la respuesta aceptada fue que añadiendo paréntesis se solucionaba el "problema", pero no aborda si la calculadora se está "equivocando" porque en realidad no está mal.

¿Cuál es la respuesta correcta y por qué? Gracias.

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$$-a^2 \neq (-a)^2 $$

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La exponenciación precede a la multiplicación y a la sustitución. $-3^2=0-3^2=0-9=-9$ .

2 votos

Cuando tienes $-3$ introducido en una calculadora, y luego se pulsa un botón para elevar al cuadrado el valor actual, se está realizando efectivamente $(-3)^2=(-3)*(-3)=9$ . Si en una calculadora o en un programa informático se introduce $-3^2$ la precedencia de las operaciones se interpreta como $-(3^2)=-9$ .

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Deusovi Puntos 650

Esta es la cuestión que los otros comentarios han omitido:

$-3^2$ no significa "el cuadrado de tres negativo". El exponente tiene prioridad sobre el negativo: significa "el negativo de $3^2$ ". Si se quiere decir "el cuadrado de tres negativo" se escribe $(-3)^2$ . (Esto también explica los problemas con sus lenguajes de programación - los que dicen $-9$ escríbalo sin que la notación de la función haga la agrupación por usted, así que el negativo se aplica después).

4 votos

Cuando hice álgebra 1 de niño, esto me confundió muchísimo hasta que finalmente lo entendí. Luego confundía a todos los demás cuando les corregía/explicaba.

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Vosotros, niños, hoy. En mi época llamamos "prioridad" al orden de las operaciones. Lo explicaba así: abrir huevos, revolverlos, freírlos. Cambia el orden de eso y lo que obtienes puede no ser lo mismo. Las matemáticas son iguales. Hay que entender cuándo el orden es importante. Ahora, si puedes revolver un huevo con cáscara... hmm ¿alguien tiene una batidora de pintura?

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@CandiedOrange: Es cierto que el orden importa, pero el orden de las operaciones es una convención para interpretando expresiones, no una idea matemática real. Nos dice si $3+2\times 8$ es $3+(2\times8)$ o $(3+2)\times8$ . No nos dice que la multiplicación siempre viene antes de la adición; dice que en igualdad de condiciones (sin paréntesis), debe elegir la primera interpretación del ejemplo en lugar de la segunda.

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Emilio Novati Puntos 15832

No es una opinión sino una convención (aceptado en todo el mundo hasta donde yo sé) :

$$ -3^2=(-1)\cdot 3^2= (-1) \cdot 9 = -9 $$

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"hasta donde yo sé" - es donde está mi problema. Como dije en mi OP, mi hermano es ingeniero, y lo hizo mal. Las calculadoras científicas lo hacen mal. Las respuestas en otros foros lo hacen mal. Se ofreció aquí que Excel lo hace mal. Probé un par de lenguajes de programación y obtuve resultados interesantes.

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Python lo hace bien -3**2 = -9. C# (y probablemente todas las demás formas de C/C++, etc) lo hace mal Math.Pow(-3,2) = 9 PHP tiene dos formas de hacer exponentes. Una fórmula y un operador (nuevo en PHP 5.6). PHP lo hace bien y mal. pow(-3,2) = 9 -3 ** 2 = -9

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@Mark: todos son correctos, es sólo una cuestión de lo que significa la notación. -3**2 significa $-(3^2)$ , pow(-3,2) significa $(-3)^2$ .

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mjnissim Puntos 1734

$ -3^2 = -9 $ ahora, si tienes paréntesis, así:
$(-3)^2$ entonces la respuesta será $ 9 $ .

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leftaroundabout Puntos 1343

IMO ayuda mucho a entender cómo la sintaxis de los lenguajes de programación, y de manera menos directa también la notación matemática, siempre corresponde a un estructura de datos en forma de árbol . Por ejemplo, $f(g(x), h(y,z))$ es realmente una codificación de cadenas de caracteres para algo como $$ \begin{matrix} & & f & & \\& \nearrow & & \nwarrow & \\ g & & & & h \\ \uparrow & & & \nearrow & \uparrow \\ x & & y & & z \end{matrix} $$ El término $-3^2$ o la expresión de Python -3**2 significa que $$ \begin{matrix} & & -\square\quad & & \\ & & \uparrow & & \\ & & ** & & \\& \nearrow & & \nwarrow & \\ 3 & & & & 2 \end{matrix} $$ Lo hace no media $$ \begin{matrix} & & ** & & \\& \nearrow & & \nwarrow & \\ -\square & & & & 2 \\ \uparrow\!\!\!\!\! & & & & \\ 3 \!\!\!\!\! & & & & \end{matrix} $$ ¿Por qué no? Bueno, estas son sólo las convenciones de cómo se analizan las expresiones: la exponenciación se vincula más estrechamente que la negación (que está, un poco razonablemente, en el mismo nivel que la adición).

En cambio, si escribe en C# Math.pow(-3, 2) entonces esto claramente es analizado como $$ \begin{matrix} & & \mathrm{pow} & & \\& \nearrow & & \nwarrow & \\ -3 & & & & 2 \end{matrix} $$ que es un cálculo diferente y da el resultado $9$ . Para expresar $-3^2$ en C#, utilice - Math.pow(3,2) .

En los lenguajes de programación, las reglas de análisis sintáctico suelen ser éstas:

  • Los paréntesis agrupan un subárbol, independientemente de lo que ocurra a su alrededor. La aplicación de la función suele estar conectada a los paréntesis, por lo que también los agrupa.
  • Commata siempre separar subárboles independientes. Por lo tanto, el -3 en pow(-3,2) es independiente del 2 y el pow función.
  • Todos los demás operadores infijos, como + y ** tienen algunos predefinidos fijación . Por ejemplo, en C y C++ la jerarquía de preponderancia de los operadores incluye lo siguiente:

    1. < , <= , > , >=
    2. << , >>
    3. + , -
    4. * , / , %

    por lo que cuando la expresión pow(0+(-1)*3, 2) el analizador sintáctico lo divide primero en la coma y luego en el + , entonces en el * antes de considerar el paréntesis interior.
    Pero en los idiomas con un operador de exponenciación , éste debería, como en la notación matemática, tener una mayor fijeza que los otros operadores.

Estas reglas de análisis sintáctico pueden variar sutilmente entre diferentes lenguajes de programación, pero al menos para un mismo lenguaje deben estar siempre bien especificadas.

Por desgracia, en las matemáticas es a menudo no tan claro - para algunas expresiones sí lo es hasta la interpretación lo que quieren decir Por ejemplo, ¿se $\sin x^2$ media $(\sin x)^2$ o más bien $\sin(x^2)$ ? En mi opinión, debería ser lo primero (porque la aplicación de la función se vincula estrechamente), pero creo que la mayoría de los matemáticos y científicos no están de acuerdo, y de ahí la notación completamente ridícula $\sin^2 x$ se utiliza para ello.

Oh, bueno...

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Lo siento pero es un error; en C/C++ << , >> están en baja precedencia que + , - , * , / ¡! Esto me costó unos cuantos errores, y me hizo sentir muy frustrado con el lenguaje, por lo que inmediatamente me di cuenta del error aquí. En cuanto a " $\sin x^2$ ", es porque el espaciado es diferente. Convencionalmente, el orden de precedencia es {super/sub}script > yuxtaposición > unión espaciada > operador binario. Así que $\sin ax+b = \sin(ax)+b$ y $\sum_{k=1}^n k^2 b \times \sum_{k=1}^n a k + c = ( \sum_{k=1}^n ( k^2 b ) ) \times ( \sum_{k=1}^n ( a k ) ) + c$ .

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Pero estoy de acuerdo en que " $\sin^2$ " es simplemente ridículo, porque también tenemos $\sin^{-1}$ . O uno o el otro tiene que ir, en aras de la coherencia.

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Puede incluir un enlace a las reglas de precedencia reales, para que la gente las vea, como por ejemplo es.cppreference.com/w/cpp/language/operator_precedence .

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user254665 Puntos 4075

Para conservar la ley distributiva de la aritmética: $x(y+z)=(xy)+(xz), $ junto con otras leyes básicas de la aritmética, al extender el sistema numérico para incluir los inversos aditivos, debemos tener $$1=1+0=1+(-1)\cdot 0=$$ $$=1+(-1)[1+(-1)]=$$ $$=1+[(-1)1]+[(-1)(-1)]=$$ $$=1+(-1)+(-1)^2=0+(-1)^2=$$ $$=(-1)^2.$$

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Tengo curiosidad por saber por qué esta respuesta no recibe más votos positivos. Esta parece ser la única respuesta que realmente explica por qué el orden de precedencia es absoluto y no sólo una convención.

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