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Teoría vs problemas en la matemática moderna

Rápida de fondo: estoy de cuarto año de pregrado de entrar a la escuela de posgrado del próximo año. Estoy tratando de identificar las áreas de investigación matemática en la que se tiende a poner más énfasis en el desarrollo de la nueva teoría en oposición a la solución de problemas que puede ser formulada en términos de teoría.

Permítanme darles dos ejemplos:

(Ejemplo 1) Suponga que un analista desea estudiar un determinado PDE. En la mayoría de los casos, el PDE (que probablemente surgió de phsyics o geometría) ha sido conocido por mucho tiempo. Por otra parte, la función de los espacios ($L^2, H^2,$ ect) que se utilizan habitualmente en la formulación de la PDE problemas, también se han definido para la mayor parte de un siglo. Ahora, hay una gigantesca cantidad de espacio para la innovación en la moderna teoría de la PDE para el desarrollo de nuevas técnicas. Sin embargo, las preguntas básicas (bien posedness, único continuación, ect) habría sido inteligible hace sesenta años.

(Ejemplo 2) Una enorme área de investigación en la moderna topología es el estudio de la lisa de 4 colectores. El santo grial es el liso 4-d de la conjetura de Poincaré. Aquí, de nuevo, hay increíblemente sofisticado y hermoso herramientas que se han desarrollado para responder a las preguntas acerca de 4-variedades. Pero la pregunta en sí, son bastante antiguas. Fundamentalmente, estamos tratando de entender los objetos (es decir, suave colectores) cuya definición ha cambiado para la mayor parte de un siglo.

Mis preguntas son:

A1 (Principal pregunta): ¿hay algunas áreas de las matemáticas cuyo preguntas guía no sería inteligible en términos de la teoría, que se sabía de hace 20 años?

A2 (Más subjetiva la pregunta): ¿cuáles son algunas de las áreas donde la nueva teoría que se está desarrollando como hablamos, o donde parece ser que hay una gran necesidad de una nueva teoría?

Nota: Todos los matemáticos (al menos todos los que he hablado) de acuerdo en que una buena teoría surge a partir de los buenos problemas. Sin embargo, me da la sensación de que algunas áreas de dejar más espacio para la teoría de los demás, de ahí mi pregunta!

2voto

Tropical geometría algebraica está siendo desarrollado como hablamos aunque no puedo dar fe de cualquier "gran necesidad" como usted dice.

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Jesse Madnick Puntos 13166

Simetría de espejo casi sin duda encaja en el proyecto de ley; no existe como sujeto hasta la década de 1990. Más en general, mi sensación es que la geometría simpléctica/topología es el desarrollo de la teoría con bastante rapidez.


Pero creo que no entiendo tu Ejemplo 2. Seguro, gran parte de la motivación detrás de $4$-colector de la teoría viene de las clásicas preguntas. Pero muchas de estas clásicas preguntas son bastante duro, de ahí la necesidad de una tecnología sofisticada que (como usted menciona).

Todo esto es para decir que muchas de las "preguntas guía" de hoy son sobre estos nuevos invariantes a sí mismos, y probablemente no sería entendido 20 (bueno, tal vez 30) años. En otras palabras, mi sensación es que las preguntas acerca de estos invariantes han sustituido en gran medida clásica preguntas en términos de lo que realmente se hace día a día.

En todo caso, se parece a mí (principiante) que los nuevos invariantes son propuestos o descubierto muy rápidamente, y parece que todavía hay un montón de espacio para los nuevos.

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