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Un límite que implican $\cot$ que aparentemente no deberían existir

Según Wolfram Alpha, $$\lim_{x \to \infty} \frac{x - \cot x}{x} =1.$$

Pero el límite siquiera existen? No $\frac{x - \cot x}{x}$ ilimitado cerca de $x= n \pi$ todos los $n \in \mathbb{N}$?

Suponiendo que el límite no existe en realidad, lo que podría explicar por qué Wolfram Alpha piensa que no existe?

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Eric Towers Puntos 8212

Cuando pedimos Mathematica (10.4) para calcular la potencia de la serie para $f(x) = \frac{x - \cot(x)}{x}$ $x = \infty$ (del orden de 10), obtenemos $$ 1 + \cot(x)\left(\frac{-1}{x} + O\left(x^{-12}\right) \right) + O\left(x^{-11}\right) \text{.} $$ If we imagine that cotangent was a very nice function (heh), we'd say it is getting crushed by $-1/x$ as $x \rightarrow \infty$ and similarly for the big-O residuals. This just leaves the "$1$" in the limit. (This property of Mathematica's Series[] function to use some simple transcendental functions rather than expand them into the series is frequently irritating.)

If we ask Mathematica to evalute the limit, it stares at us blankly

In:  Limit[(x - Cot[x])/x, x -> \infty ]

Out:  Limit[(x - Cot[x])/x, x -> \infty ]

If we ask Wolfram Alpha to do expand $f$ in a series around $\infty$, nos mira fijamente con la mirada vacía

Series[(x - Cot[x])/x,{x,\infty,2}]

(no series expansion available)

Así que no puedo garantizar que el Alfa es el uso de la mencionada ampliación para llegar a la mal límite. Pero apuesto un dólar a que se hace.

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