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Pregunta muy básica de homotopía

Soy nuevo a homotopy teoría, así que estoy seguro de que esta pregunta es absolutamente estúpido. Pero de todos modos estoy tratando de entender una prueba en el libro "la Topología y la Geometría" por Glen Bredon. Esta es la propuesta:

Deje $\partial: \pi_2 (X,A,\ast)\rightarrow \pi_1 (A,\ast)$ ser el mapa de los límites de la larga secuencia exacta de homotopy grupos. Para $\alpha, \beta \in \pi_2 (X,A,\ast)$ tenemos $(\partial (\alpha))\beta=\alpha \beta \alpha^{-1}$. Donde el lado izquierdo significa la acción de $\pi_1(A,\ast)$$\pi_2 (X,A,\ast)$.

Mi confusión está en la primera frase de la prueba:

Un representante de la $\mathbb{D}^2\rightarrow X$ $\beta$ puede ser tomado de modo que todo lo de los mapas en el punto de base, excepto por un pequeño disco y este disco puede ser colocado en cualquier lugar. Así vemos que un representante de $\alpha \beta \alpha^{-1}$ puede ser tomado como en la primera parte de la figura VII-7.

¿Pero no es equivalente a la hipótesis de que la restricción de $\beta$ $S^1$es nulo homotópica en $\pi_1 (A)$? A mí me parece que si $\beta$ estaba en la misma en relación homotopy clase como un mapa que es constante en $S^1$, entonces cualquier homotopy entre estos dos mapas proporcionan también una contracción de $\beta|_{S^1}$$A$.

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Tsundoku Puntos 1953

Primero de todo, este es un hecho importante, que el mapa de los límites de $\partial:\pi_2(X,A,*) \to \pi_1(A,*)$ con la acción de la $\pi_1(A,*)$ tiene la estructura de cruzado módulo. Que es una de morfismos de grupos de $\mu: M \to P$ con una acción de $P$ $M$ (a la izquierda, con sus convenciones) con dos reglas:

  1. $\partial(^p m )= p(\partial m)p^{-1}$;

  2. $mnm^{-1}={} ^{\mu m} n$.

El segundo fue entregado por primera vez por J. H. C. Whitehead, en 1941.

No tengo el libro de referencia, y prefieren una forma más rectangular enfoque. Respecto a $\alpha, \beta$ como los mapas de los cuadrados de los cuales mapa de todo el conjunto $X$, el borde superior en $A$ y los otros tres bordes para el punto base. Dividir un rectángulo en 6 partes por 1 horizontal y 3 líneas verticales. En la mitad superior de la put $\beta$, en la parte inferior izquierda de poner $\alpha$ e inferior derecha $\alpha^{-1}$ (reflejada horizontalmente). La mitad inferior es totalmente constante, y las otras dos plazas son verticalmente constante.

Este diagrama se ve como

$$\begin{bmatrix} || & \beta & || \\ \alpha & \Box & \alpha^{-1} \end{bmatrix}$$

La lectura de este diagrama en 2 formas (ya sea por filas o por columnas) da el resultado. (Es realmente un resultado de doble groupoids! )

Allí está lleno de fondo sobre cruzó los módulos y doble groupoids en el libro "Nonabelian topología algebraica: filtrada espacios, cruzó complejos, cúbica homotopy groupoids" de que todos los detalles están aquí, donde un pdf está disponible.

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seanyboy Puntos 3170

Lo que sucede es que Bredon la frase es ambigua y la figura es muy engañosa.

Cuando Bredon dice que "todo lo de los mapas en el punto de base, excepto por un pequeño disco y este disco puede ser colocado en cualquier lugar", significa que el disco puede ser colocado en cualquier lugar en el límite de $D^2$, con el límite de la disco compartir un arco con el límite de $D^2$.

Esta ambigüedad se ve agravada por la imagen, que realmente no debería tener un círculo alrededor de la $\beta$ en la forma en que lo hace. La totalidad del derecho de la región es una copia de $\beta$, y la parte de la frontera de $D^2$ en la cifra de entre $-\pi/3$ $\pi/3$ no mapa para el punto de base.

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