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¿Por qué consideramos los conjuntos de Borel en lugar de conjuntos medibles?

Desafiando la sabiduría convencional pregunta posiblemente relacionado con mi pregunta anterior.

¿Por qué a veces consideramos como una medida de espacio $(S, \Sigma, \mu) = (\mathbb{R}, \mathscr{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue en lugar de $(S, \Sigma, \mu) = (\mathbb{R}, \mathscr{M}(\mathbb{R}), \lambda)$ donde $\mathscr{M}(\mathbb{R})$ es el conjunto de $\lambda$medible de subconjuntos de a $\mathbb{R}$? Quiero decir, hay subconjuntos de a $\mathbb{R}$ que no son conjuntos de Borel, sino $\lambda$medible de derecho? Si no hay ninguno, supongo que eso responde a la primera pregunta.

Posiblemente contestada por encima pero ¿por qué, en mi anterior pregunta, es 'natural' para considerar $\mathscr{F}$? Supongo que es como ¿por qué es 'natural' para considerar $\mathscr{B}(\mathbb{R})$.

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Renart Puntos 331

Bueno, yo diría que depende del contexto, pero una de las razones que vienen a mi mente es que el borel $\sigma$-álgebra es más simple (y más pequeño) que el Lebesgue $\sigma$-álgebra $\mathscr{M}(\mathbf{R})$. Para un montón de cosas que el reseteando de borel funciones o borel sigma alegbra es suficiente para lo que quieres hacer, con el Lebesgue sigma álgebra sólo haría las pruebas más difícil o incluso invalidar los resultados que se desea probar.

Un ejemplo acerca de la "más pruebas" partes : la $\sigma$-álgebra $\mathscr{B}(\mathbf{R})$ es generado por el open conjuntos de $\mathbf R$, y un montón de pruebas de uso de este hecho. Por desgracia, la situación es más compleja con $\mathscr{M}(\mathbf R)$.

Un ejemplo acerca de la "invalidar los resultados de la" parte : Es fácil demostrar que si $f$ $g$ son Borel, a continuación, $f\circ g $ es también Borel. Sin embargo, si se define una función medible a ser una función de $f$ tal que para cada conjunto abierto $U\subset \mathbf R$$f^{-1}(U)\in \mathscr M (\mathbf R)$, entonces la composición de dos funciones medibles no es mensurable en general.

Nota : el hecho de que la composición de dos funciones medibles no es mensurable está estrechamente relacionado con el hecho de que algunas funciones de Borel, pero no Lebesgue (donde $f$ es Lebesgue media de $f^{-1}(U)\in \mathscr M (\mathbf R)$ por cada $U\in \mathscr M (\mathbf R))$. Hay una prueba en Folland del análisis Real acerca de que si recuerdo bien. Pero $\mathscr M (\mathbf R)$ es absolutamente crucial en la integración de la teoría, de hecho, hay funciones que son Riemann integrables, pero no Borel (creo que de las funciones características de algún subconjunto de la triádica conjunto de cantor).

Para terminar, si $\mathscr M (\mathbf R)\backslash\mathscr B (\mathbf R)$ es no vacío. Pero se tiene el siguiente resultado :

si $A\in \mathscr M (\mathbf R)\backslash\mathscr B (\mathbf R)$ entonces existe dos conjuntos de borel $M$ $N$ tal que $M\subset A$, $A\subset M \cup N$ y $\lambda(N)=0$ (por lo $A$ es un conjunto de borel, algunos no Borel insignificante conjunto). Además, uno tiene $\lambda(A)=\lambda(M)$.

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Gregory Grant Puntos 6319

No estoy seguro de lo que tienes en mente cuando dices ejemplo, pero si se mira en un básico (nivel de pregrado) de la probabilidad libro verá que realmente lucha con el hecho de que usted no puede dar una probabilidad de cualquier evento. La pregunta entonces es ¿qué subconjunto de $2^{\mathbb R}$ usted quiera considerar. Hay un deseo de ser tan amplio como sea posible, pero la maquinaria básica que usted necesita para desarrollarse, es bastante difícil y tal vez demasiado difícil para el estudiante típico de la clásica de la probabilidad de que probablemente nunca se encuentran en el mundo real un evento que no es un conjunto de Borel. En encontrar en la enseñanza de la probabilidad de que incluso los conjuntos de Borel son demasiado complicadas para que el estudiante típico que es un científico que sólo quiere probar la importancia de sus datos. Para estas personas probablemente nunca encuentro un evento que no es un intervalo o unión de dos o tres intervalos. Pero tales estudiantes se perdería en el difícil detalles de los análisis necesarios para incluir más juegos que en realidad iba a necesitar. Es por eso que algunos autores, por ejemplo, Larson, paso lateral de toda la cuestión de la no-integrable conjuntos completamente, y acaba de advertir a los estudiantes que no todos los subconjuntos de a $\mathbb R$ pueden ser eventos y, a continuación, acaba de pasar.

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