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La definición de seno y coseno

Sabemos que los siguientes son verdaderas acerca del seno y del coseno (y que se puede demostrar geométricamente):

  • $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$
  • $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
  • $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}x=1$
  • $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}x=0$
  • Son continuas

Digamos que tenemos dos funciones reales: $s(x)$$c(x)$. Si sabemos que las anteriores son verdaderas para $s$ $c$ ( $s(a+b)=s(a)c(b)+s(b)c(a)$ , etc.), podemos concluir que el $s$ $c$ son igual a $\sin$ $\cos$ respectivamente? En otras palabras, son el seno y el coseno de los sólo dos funciones que cumplir con lo anterior? Hacer los cinco puntos por encima de la única definir el seno y el coseno?

Yo estaba pensando en el círculo unitario definición de seno y coseno, y yo sabía que hay muchos no-definición geométrica de ellos. Me preguntaba si los cuatro hechos mostrados anteriormente fueron suficientes para contar como un no-definición geométrica.

(Sin el tercer punto, cosas como $\sin(x \text{ degrees})$ $\cos(x \text{ degrees})$ también el trabajo; en otras palabras, el tercer punto se especifica que estamos usando radianes.)

EDIT: Añadido el cuarto punto, ya que $s(x)=e^x\sin(x)$, $c(x)=e^x\cos(x)$ si se omite.

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Milo Brandt Puntos 23147

Sí, este único y define el seno y el coseno funciones. En particular, vamos a escribir $$f(x)=\cos(x)+i\sin(x)$$ donde $i$ es la unidad imaginaria. Entonces, la suma de las identidades de rendimiento, después de un poco de cálculo que $f(x)f(y)=f(x+y)$. Esto es algo tedioso, pero es fácil de comprobar. Pero, ¿adivinen qué! La única continuo de las funciones que pueden satisfacer $f(x)f(y) = f(x+y)$ son funciones exponenciales; para demostrar esto, observe que, para un entero $n$, está claro que $f(nx)=f(x)^n$. Usted puede usar esto para mostrar que, en los racionales, $f$ es una función exponencial (es decir,$f(x)=e^{ax}$). *

Ya tenemos $\sin(0)=0$, $\sin'(0)=1$, $\cos(0)=1$ y $\cos'(0)=0$, esto implica que $f'(0)=i$. La única función exponencial, para satisfacer esta es $f(x)=e^{ix}$. La extracción de partes real e imaginaria de los rendimientos, de forma exclusiva, seno y coseno.

*Si usted desea ser formal acerca de esto, sería prudente para demostrar que $|f(x)|=e^{\alpha x}$ primero, y luego demostrar que $\arg(f(x))\equiv \beta x$ - usted puede evitar el problema de $n^{th}$ raíces que no es único en el plano complejo por la separación de su argumento en estas dos secciones.

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Hanseh Puntos 556

Si se agregan las condiciones de $\lim_{x \to 0}\frac{\cos(x) - 1}{x}=0$ $c(x),s(x)$ son continuamente diferenciables (es decir,$c,s \in C^1(\mathbb{R})$, entonces podemos forzar $c(x) = \cos(x)$$s(x) = \sin(x)$.

Escrito $f(x) = c(x)+i s(x)$, las dos primeras relaciones se convierten simplemente en: $f(x+y) = f(x)f(y)$ (comparando partes real e imaginaria en ambos lados). En particular, tenga en cuenta que $f(0)=f(0)^2$, lo $f(0)=0$ o $f(0)=1$. Si $f(0)=0$,$f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0$, lo $f(x)=0$ idéntica, contradiciendo $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 0$. Por lo $f(0)=1$.

Tomando la derivada con respecto al $x$ da $f'(x+y)=f'(x)f(y)$ y así:

$$ f'(y)=f'(0)f(y) $$ Que es una ODA cuya solución está determinada únicamente por los valores de $f(0), f'(0)$.

Hemos demostrado anteriormente que el $f(0)=1$.

Y $$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{c(x)-1 + (x)}{x} = i $$

Sabemos (por construcción) que $f(0)$ $f'(0)$ se corresponde con lo que sería si $c(x)=\cos(x)$$s(x) = \sin(x)$, y desde $f(0$ $f'(0)$ únicamente determinan $f(x)$ (a partir de la educación a distancia), con esto se completa la prueba.

Tenga en cuenta que necesitamos saber $\lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}$ para determinar el $f'(0)$, que es la razón sin que la condición de obtener los contraejemplos se menciona en los comentarios.

No estoy seguro de si hay algún extraño contraejemplos si se omite la diferenciabilidad de la condición, pero la suposición parece natural que uno haga.

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