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Demuestra que una función es un polinomio

Deje $f(z)$ ser toda la función, $R_n$ una secuencia de números reales positivos tienden a $\infty$ tal que $f(z) \neq 0$ $|z|=R_n$ y no existe $M>0$ tal que $$\int_{|z|=R_n} \left|\frac{f'(z)}{f(z)}\right| ~dz<M$$ para todos los $n$. Mostrar que $f$ es un polinomio.

Lo que vino a mi mente es considerar que $f(z)=a_0+a_1z+\cdots \;\;\forall z\in\mathbb{C}$, y para tratar de demostrar que $a_k=0$ a partir de un cierto $k$, tal vez usando la fórmula de Cauchy para estos coeficientes, pero no los puedo usar la hipótesis de que delimitadas integral. Es de observar que hay una logarítmicas derivadas de cualquier uso?

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user8268 Puntos 13913

Como $\,\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f'}{f}\,dz}\,$ es el número de raíces en el interior del círculo, el número total de raíces es finito

(delimitada por $\,\frac{M}{2\pi}\,$). Vamos $$g(z)=\frac{f(z)}{(z-a_1)\cdot\ldots\cdot(z-a_k)}$$, where $a_1,\dots,a_k$ are the roots of $f$. Then $g$ satisfies the same condition as $f$ (with a different $\tilde M$). As $g$ has no root, it is of the form $g(z)=\exp(h(z))$ for some entire function $h$. We thus have $\,\displaystyle{\cualquier |h'(z)|\,|dz|<\tilde M}\,$ for circles of radii $R_n\to\infty$. This implies $h'=0$, hence $f$ es un polinomio.

edit: ¿por $h'=0$: si $$h'(z)=c_1 z^m+c_2 z^{m+1}+\dots$$ ($c_1\neq0$), a continuación, $$\oint \frac{h'(z)}{z^{m+1}}\,dz=2\pi i c_1$$, which certainly implies $\cualquier |h'(z)|\,|dz|\to\infty$.

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