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La historia de la alimentación de la serie para $e^x$ y el interés compuesto

Como se discutió en ¿Cómo Bernoulli aproximado de $e$?, Bernoulli mostró que $2\frac{1}{2} < e < 3$ en este artículo:

https://books.google.com/books?id=s4pw4GyHTRcC&pg=PA222#v=onepage&q&f=false

Él da una fórmula la que nos gustaría escribir como: $$ a + b + \frac{b^2}{2!\cdot} + \frac{b^3}{3!\cdot a^2} + \frac{b^4}{4!\cdot a^3} + \frac{b^5}{5!\cdot a^4} + \ldots $$

para la cantidad que el acreedor recibirá una inversión de $a$ de interés anual $b$ durante un año con un interés compuesto continuamente. Una vez que te das cuenta de que la tasa de interés, $r$ decir, no es $b$ pero $\frac{b}{a}$ (es decir, $b$ es una suma de dinero no es una relación), esto es lo que cabría esperar: $$ una (1 + \frac{r}{1!} + \frac{r^2}{2!} + \frac{r^3}{3!} + \ldots) = e^{r}. $$

Mis preguntas son: (1) ¿tengo razón en pensar que de Bernoulli no se pretenda probar esta fórmula en este trabajo, pero que él lo toma como sabe? (2) ¿cómo era la fórmula demostró por primera vez? Es bastante fácil ver que la cantidad al final del año debe ser dada por el siguiente límite (suponiendo que exista) $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n $$ pero no es particularmente fácil de demostrar algebraicamente que el coeficiente de $r^n$ en esta secuencia de polinomios tiende a $\frac{1}{n!}$. Era la equivalencia de las dos fórmulas primera demostrado por la investigación de estos coeficientes o por modelado continuo interés compuesto mediante la integración, o qué?

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Simple Art Puntos 745

En primer lugar, considere la posibilidad de $a=1$ hacer cálculos más fácil. A continuación, considere la posibilidad de $b,r=1$. Nos gustaría, a continuación, obtener la expansión en series de taylor para $e$.

Tenga en cuenta que de Bernoulli no saber el valor exacto de $e$. Pero con esta serie, se podría aproximar $e$.

Creo que la serie se deriva de la siguiente manera:


Empezar con $a$ cantidad de dinero en efectivo. Usted gana una tasa de $\frac {100} r$% (tasa debe ser menor que uno) cantidad de dinero en efectivo cada $\frac{1year}{r}$, de modo que la ganancia de las tasas más bajas se tradujo en más frecuente de interés.

Por ejemplo, si $r=1$, entonces usted podría ganar, $100$ % de interés después de 1 año.

Si $r=2$, entonces usted podría ganar, $50$ % de interés cada 6 meses, o dos veces en un año.

Y para $r=2$, podemos ver un matemático de la serie. Empezamos con $a$ dólares. Luego nos ganan $b$ dólares ($b=a*\frac 1r$, la fórmula de interés compuesto) después de los primeros 6 meses. Luego nos ganan $\frac{b^2}{2!a}$, si no me equivoco.

Nuestra última cantidad de dinero ganado sería$$S_2=a+b+\frac{b^2}{2!a}$$But Bernoulli noticed that we got the following series:$$S_{r}=a+b+\frac{b^2}{2!a}+...\frac{b^r}{r!a^{r-1}}$$

Y teniendo esto $\infty$ nos da la Serie de Taylor de $ae^r$

Señaló que la serie se acercó a una especie de límite, $2.5<e<3$, que se calcula a través de conectar más y más $r$'s, si estoy en lo cierto.

Esto puede no ser la manera exacta de Bernoulli resuelto esto, pero es mi mejor respuesta.

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