7 votos

Valoraciones sobre un campo y ramificación

Para $K\subseteq L$ donde $L$ es un número finito de extensión de campo de $K$, podemos considerar $p\subset R_K$ $p'\subset R_L$ donde $p'$ se encuentra sobre $p$ donde $R_K$ es el anillo de enteros de $K$ $R_L$ se define de la misma manera. A continuación, las valoraciones en $K$ $L$ están asociados con los números primos de los campos, de modo que existe una valoración asociada con $p$$p'$.

Mi pregunta es: ¿cómo el camino de $p$ se comportan en $L$ (es decir, si es inerte, dividir o ramificada) afectar a la relación entre el$v_{p}(x)$$K$$v_{p'}(x)$$L$?

Por ejemplo, si $L$ es una ecuación cuadrática de la extensión de $K$, yo creo que si:

  • $p$ es inerte en $L$, $v_p(x)=v_{p'}(x)$ (tenga en cuenta que esto significa $v_{p}(x)$ $K$ es igual a$v_{p'}(x)$$L$).
  • $p$ se divide en $L$, por lo que el$pR_L=p'p''$,$v_p(x)=v_{p'}(x)+v_{p''}(x)$.
  • $p$ ramifies en $L$, por lo que el$pR_L=p'p'$,$v_p(x)=2v_{p'}(x)$.

Estoy gustaría saber cómo es generalizada para general finito extensiones $L$ $K$ el uso de la inercia de grado y de una prueba o una referencia a algo que contiene una prueba sería muy apreciada. Gracias!

3voto

Mat Puntos 781

Consideremos primero su cuadrática caso. Tenga en cuenta que las valoraciones pueden ser obtenidos desde el primer ideal de la factorización, es decir, para $x$ $K$ hemos $$ xR_K = \prod_{\mathfrak p \subseteq R_K} \mathfrak p^{v_\mathfrak p(x)}, $$ donde como de costumbre, $xR_K$ indica que el director (fraccional) ideal de $K$ generado por $x$ y el producto se ejecuta sobre todos los distinto de cero el primer ideales de $R_K$. Dado que sólo estamos interesados en la valoración a una prima fija ideal $\mathfrak p$, vamos a escribir $$ xR_K = \mathfrak a \cdot \mathfrak p^{v_\mathfrak p(x)}, $$ donde $\mathfrak a$ es un ideal fraccional de $K$. Con el fin de obtener las valoraciones en el mayor campo de $L$ necesitamos considerar $xR_L$. Por lo tanto, debemos considerar $$ xR_L = (\mathfrak a R_L) \cdot (\mathfrak p^{v_\mathfrak p(x)} R_L) = \mathfrak A \cdot (\mathfrak p R_L)^{v_{\mathfrak p}(x)}.$$ Ahora podemos considerar tres casos:

  1. $\mathfrak p$ es inerte, $\mathfrak pR_L = \mathfrak P$. Luego de conectar obtenemos $$ xR_L = \mathfrak A \cdot \mathfrak P^{v_\mathfrak p(x)}. $$ Tenga en cuenta que como $\mathfrak a$ no tiene nada en común con $\mathfrak p$, el ideal de $\mathfrak A$ no tiene nada en común con $\mathfrak P$. En particular, $v_\mathfrak p(x)$ es el exponente de $\mathfrak P$ en el primer ideal de la descomposición de $xR_L$, es decir, $$ v_\mathfrak P(x) = v_\mathfrak p(x). $$
  2. $\mathfrak p$ divisiones, $\mathfrak pR_L = \mathfrak P_1 \mathfrak P_2$. De nuevo, obtenemos $$ xR_L = \mathfrak A \cdot (\mathfrak P_1 \mathfrak P_2)^{v_\mathfrak p(x)} = \mathfrak A \cdot \mathfrak P_1^{v_\mathfrak p(x)} \mathfrak P_2^{v_\mathfrak v(x)}. $$ Con el mismo argumento, como en (1) obtenemos $$ v_\mathfrak p(x) = v_{\mathfrak P_1}(x) = v_{\mathfrak P_2}(x).$$ (Esto implica $v_\mathfrak p(x) = (v_{\mathfrak P_1}(x) + v_{\mathfrak P_2}(x))/2$.)
  3. $\mathfrak p$ ramifies, $\mathfrak p = \mathfrak P^2$. Ahora sucede algo nuevo. Tenemos $$ xR_L = \mathfrak A \cdot (\mathfrak P^2)^{v_\mathfrak p(x)} = \mathfrak A \cdot \mathfrak P^{2v_\mathfrak p(x)}. $$ Llegamos a la conclusión de $$ v_\mathfrak P(x) = 2 v_\mathfrak p(x),\,\text{i.e.,}\quad v_\mathfrak p(x) = \frac{v_\mathfrak P(x)} 2.$$

Espero que esto muestra cómo la inercia grado influye en las extensiones. Además, usted debería ser capaz de describir la situación de un número arbitrario de campo extensiones $L|K$ donde prime $\mathfrak p$ $K$ se descompone como $$ \mathfrak p R_L = \prod_{i=1}^g \mathfrak P_i^{e_i} $$ en $L$. Creo que cada libro titulado "la teoría algebraica de números" debe contener este material de forma más o menos explícita.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: