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Diferencia entre axiomas, teoremas, postulados, corolarios e hipótesis

He escuchado todos estos términos en las pruebas y en la geometría, pero ¿cuáles son las diferencias y relaciones entre ellos? ¡Los ejemplos serían increíbles! :)

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Ir a leer este artículo de Wikipedia y los artículos que enlaza.

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Una de las dificultades es que, por razones históricas, diversos resultados llevan asociado un término específico (postulado del paralelo, lema de Zorn, hipótesis de Riemann, conjetura de Collatz, axioma de la determinación). Estos no siempre coinciden con el uso habitual de las palabras. Además, algunos teoremas tienen nombres únicos, por ejemplo el Nullstellensatz de Hilbert. Como la palabra alemana incorpora "satz", que significa "teorema", no es típico llamarlo "teorema Nullstellensatz". Estas cosas hacen que sea más difícil captar el uso general.

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Lorin Hochstein Puntos 11816

En Geometría, " Axioma " y " Postulado "son esencialmente intercambiables. En la antigüedad, se referían a proposiciones que eran "obviamente verdaderas" y que sólo tenían que ser enunciadas, y no probadas. En las matemáticas modernas ya no se supone que los axiomas sean "obviamente verdaderos". Los axiomas son simplemente suposiciones "de fondo" que hacemos. La mejor analogía que conozco es que los axiomas son las "reglas del juego". En la Geometría de Euclides, los principales axiomas/postulados son:

  1. Dados dos puntos distintos cualesquiera, existe una recta que los contiene.
  2. Cualquier segmento de línea puede extenderse a una línea infinita.
  3. Dado un punto y un radio, existe una circunferencia con centro en ese punto y ese radio.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en aquel lado en el que están los ángulos menores que los dos rectos. (El postulado paralelo ).

A teorema es una consecuencia lógica de los axiomas. En Geometría, las "proposiciones" son todos los teoremas: se derivan utilizando los axiomas y las reglas válidas. Un "corolario" es un teorema que suele considerarse una "consecuencia fácil" de otro teorema. Lo que es o no es un corolario es totalmente subjetivo. A veces, lo que un autor piensa que es un "corolario" se considera más importante que el teorema correspondiente. (Lo mismo ocurre con " Lema ", que son teoremas que se consideran auxiliares para demostrar algún otro teorema, más importante en opinión del autor).

A " hipótesis " es una suposición que se hace. Por ejemplo, "Si $x$ es un número entero par, entonces $x^2$ es un número entero par" No estoy afirmando que $x^2$ es par o impar; estoy afirmando que si algo sucede (es decir, si $x$ resulta ser un número entero par) entonces otra cosa también ocurrirá. Aquí, " $x$ es un número entero par" es la hipótesis que se plantea para demostrarlo.

Consulte las páginas de Wikipedia sobre axioma , teorema y corolario . Los dos primeros tienen muchos ejemplos.

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Arturo, espero que no te importe que haya acercado tu ya excelente respuesta un poco más a la perfección.

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@J.M.: Je. En absoluto; ¡gracias por las correcciones! Aunque te faltó la comilla simple después de "proposiciones" en el segundo párrafo. (-:

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Gran respuesta. Clara e informal, sin dejar de ser precisa. Mejor que la de wikipedia, en mi opinión.

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user168152 Puntos 11

Según la lógica, un axioma o postulado es una afirmación que se considera evidente. Tanto los axiomas como los postulados se asumen como verdaderos sin ninguna prueba o demostración. Básicamente, algo que es obvio o que se declara como verdadero y se acepta pero que no tiene ninguna prueba para ello, se llama axioma o postulado. Los axiomas y postulados sirven de base para deducir otras verdades.

Los antiguos griegos reconocieron la diferencia entre estos dos conceptos. Los axiomas son suposiciones evidentes, comunes a todas las ramas de la ciencia, mientras que los postulados están relacionados con la ciencia particular.

Axiomas

El propio Aristóteles utilizó el término "axioma", que viene del griego "axioma", que significa "considerar que vale", pero también "exigir". Aristóteles tenía otros nombres para los axiomas. Los llamaba "las cosas comunes" u "opiniones comunes". En matemáticas, los axiomas pueden clasificarse en "axiomas lógicos" y "axiomas no lógicos". Los axiomas lógicos son proposiciones o afirmaciones que se consideran universalmente verdaderas. Los axiomas no lógicos, a veces llamados postulados, definen propiedades para el dominio de una teoría matemática específica, o afirmaciones lógicas, que se utilizan en la deducción para construir teorías matemáticas. "Las cosas que son iguales a la misma cosa, son iguales entre sí" es un ejemplo de un conocido axioma establecido por Euclides.

Postulados

El término "postulado" procede del latín "postular", un verbo que significa "exigir". El maestro exigía a sus alumnos que argumentaran ante ciertas afirmaciones sobre las que él podía construir. A diferencia de los axiomas, los postulados pretenden captar lo que hay de especial en una estructura concreta. "Es posible trazar una línea recta desde cualquier punto hasta cualquier otro punto", "Es posible producir una recta finita de forma continua en una línea recta" y "Es posible describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio" son algunos ejemplos de postulados ilustrados por Euclides.

¿Cuál es la diferencia entre Axiomas y Postulados?

- Un axioma es generalmente verdadero para cualquier campo de la ciencia, mientras que un postulado puede ser específico para un campo concreto.

- Es imposible de demostrar a partir de otros axiomas, mientras que los postulados son demostrables a los axiomas.

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Hmmm. No es una mala explicación, y gracias por intentando para explicar la diferencia, pero todavía estoy un poco confuso sobre la distinción histórica tal y como la utilizaron Aristóteles y Euclides.

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La parte histórica es interesante pero al final tus afirmaciones no son correctas. No es la forma en que se utilizan las palabras "axioma" y "postulado" en matemáticas y lógica.

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Maanas Puntos 713

Axioma: No se ha demostrado y se sabe que no se puede demostrar con otros axiomas

Postulado: No se ha demostrado pero no se sabe si se puede demostrar a partir de los axiomas (y los teoremas derivados sólo de los axiomas)

Teorema: Demostrado mediante axiomas y postulados

Por ejemplo, el postulado de las paralelas de Euclides se utilizó sin demostrarlo, pero durante muchos milenios se pensó que existía una prueba para ello en términos de otros axiomas. Más tarde se demostró definitivamente que no podía (por ejemplo, mostrando la consistencia de otras geometrías). En ese momento pudo convertirse en un axioma para el sistema geométrico euclidiano.

Creo que el hecho de que todo se marque como postulado es un poco perjudicial, pero también refleja que sería casi imposible seguir la pista a cualquier teorema no trivial que no dependa en alguna parte de un postulado en lugar de un axioma, además, los estándares de lo que constituye una "prueba" cambian con el tiempo.

Pero creo que la triple estructura es útil para enseñar a los estudiantes principiantes. Por ejemplo, se puede demostrar la congruencia de los triángulos a través de SSS con algunos axiomas, pero puede ser condenadamente difícil y confuso/circular/nitpico, por lo que tiene sentido enseñarlo como un postulado al principio, usarlo, y luego volver y mostrar una prueba.

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Creo que el uso común no requiere que un axioma sea "conocido por ser indemostrable usando otros axiomas". Esto significaría que no hay tal cosa como "un axioma", sólo "un axioma relativo a otros enunciados"; y significaría que muchas presentaciones comunes de axiomas en realidad no consisten en axiomas. (Por ejemplo, los axiomas de un anillo incluyen la distributividad izquierda y derecha de la multiplicación sobre la adición; los axiomas de un anillo conmutativo incluyen la conmutatividad de la multiplicación; pero de repente eso significa que debemos (arbitrariamente) elegir sólo la distributividad izquierda o derecha como axioma).

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ProNotion Puntos 1207

Técnicamente, los axiomas son evidentes o se demuestran por sí mismos, mientras que los postulados se dan por supuestos. Sin embargo, sólo Euclides y los teóricos de alto nivel y algunos polímatas hacen esta distinción. Véase http://www.friesian.com/space.htm

Los teoremas se derivan entonces de los "primeros principios", es decir, de los axiomas y postulados.

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No, esa división "técnica" realmente no lleva a ninguna parte, y hoy en día nadie la sigue.

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Desde un punto de vista puramente epistemológico, se trata de un excelente distinción, y me alegro mucho de que te hayas tomado el tiempo de aportar esta sencilla respuesta. Esto me ha aclarado completamente la diferencia histórica. Aunque @AndrésE.Caicedo tiene razón en que esta distinción no forma parte de la práctica matemática moderna, eso no la hace totalmente inútil.

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Nicolas Bourbaki Puntos 2762
  1. Dado que no es posible definir todo, ya que conduce a un un bucle infinito de definiciones circulares, los matemáticos salen de este problema imponiendo "términos indefinidos". Palabras que nunca definimos. En la mayoría de las matemáticas que dos términos indefinidos son set y elemento de .

  2. Nos gustaría poder demostrar varias cosas relativas a los conjuntos. Pero cómo podemos hacerlo si nunca hemos definido lo que es un set ¿es? Así que lo que hacen los matemáticos es imponer una lista de axiomas . Un axioma es alguna propiedad de su objeto indefinido. Así que aunque nunca definas tus indefinidos tienes reglas sobre ellos. Las reglas que los rigen son las axiomas . Uno no demuestra un axioma, de hecho puede elegir que sea cualquier cosa que desee (por supuesto, si se hace sin sentido se llegará a algo trivial).

  3. Ahora que tenemos nuestros axiomas y términos indefinidos podemos formar algunos definiciones para lo que queremos trabajar.

  4. Después de definir algunas cosas podemos escribir algunas pruebas básicas. Normalmente se conocen como propuestas . Las proposiciones son aquellos hechos matemáticos que suelen ser fáciles de demostrar y que generalmente se derivan fácilmente de las definiciones.

  5. Las proposiciones profundas que son una visión general de todos los hechos recogidos actualmente suelen llamarse Teoremas . Una buena prueba de fuego, para saber la diferencia entre una Proposición y un Teorema, como alguien comentó una vez aquí, es que si estás orgulloso de una prueba la llamas Teorema, de lo contrario la llamas Proposición. Piensa en un teorema como los objetivos finales que nos gustaría obtener, conexiones profundas que también son resultados muy bellos.

  6. A veces, para demostrar una proposición o un teorema necesitamos algunos datos técnicos. Estos se llaman Lemas . Los lemas no suelen ser útiles por sí mismos. Sólo se utilizan para demostrar una Proposición/Teorema, y luego nos olvidamos de ellos.

  7. La colección neta de definiciones, proposiciones, teoremas, forman un teoría matemática .

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Por favor, no proponga la falsedad de que "no es posible definirlo todo". Entiendo lo que media por ella, pero el resultado es sólo un desastre pedagógico. (Vea mi respuesta aquí.) La verdad es que un concepto o el pensamiento es una entidad distinta de una representación simbólica, y cuando un concepto es captado directamente, comprensión total es posible a pesar de la aparente circularidad de definir las palabras utilizando otras palabras.

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