Diferencia entre axiomas, teoremas, postulados, corolarios e hipótesis

Question

He escuchado todos estos términos mencionados en demostraciones y en geometría, pero ¿cuáles son las diferencias y relaciones entre ellos? ¡Ejemplos serían geniales! :)

Answer 1

En Geometría, "Axioma" y "Postulado" son esencialmente intercambiables. En la antigüedad, se referían a proposiciones que eran "obviamente verdaderas" y solo tenían que ser enunciadas, no demostradas. En las matemáticas modernas ya no se asume que los axiomas son "obviamente verdaderos". Los axiomas son simplemente suposiciones de 'fondo' que hacemos. La mejor analogía que conozco es que los axiomas son las "reglas del juego". En la Geometría de Euclides, los principales axiomas/postulados son:

1. Dados dos puntos distintos, existe una línea que los contiene.
2. Cualquier segmento de línea se puede extender a una línea infinita.
3. Dado un punto y un radio, existe un círculo con centro en ese punto y de ese radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores a dos ángulos rectos, las dos rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que están los ángulos menores a los dos ángulos rectos. (El postulado de las paralelas).

Un teorema es una consecuencia lógica de los axiomas. En Geometría, las "proposiciones" son todos teoremas: se derivan utilizando los axiomas y las reglas válidas. Un "Corolario" es un teorema que generalmente se considera una "consecuencia fácil" de otro teorema. Lo que es o no un corolario es completamente subjetivo. A veces, lo que un autor considera un 'corolario' se considera más importante que el teorema correspondiente. (Lo mismo ocurre con las "Lema"s, que son teoremas considerados auxiliares para demostrar algún otro teorema, más importante en la opinión del autor).

Una "hipótesis" es una suposición hecha. Por ejemplo, "Si $x$ es un número entero par, entonces $x^2$ también es un número entero par". No estoy afirmando que $x^2$ sea par o impar; estoy afirmando que si algo sucede (es decir, si $x$ resulta ser un número entero par) entonces algo más también sucederá. Aquí, "$x$ es un número entero par" es la hipótesis que se hace para probarlo.

Consulte las páginas de Wikipedia sobre axioma, teorema y corolario. Las dos primeras tienen muchos ejemplos.

Answer 2

Basado en la lógica, un axioma o postulado es una afirmación que se considera autoevidente. Tanto los axiomas como los postulados se asumen como verdaderos sin ninguna prueba o demostración. Básicamente, algo que es obvio o se declara como verdadero y aceptado pero no tiene prueba de ello, se llama axioma o postulado. Los axiomas y postulados sirven como base para deducir otras verdades.

Los antiguos griegos reconocieron la diferencia entre estos dos conceptos. Los axiomas son suposiciones autoevidentes, comunes a todas las ramas de la ciencia, mientras que los postulados están relacionados con la ciencia particular.

Axiomas

Aristóteles por sí solo utilizaba el término "axioma", que proviene del griego "axioma", que significa "considerar valioso", pero también "exigir". Aristóteles tenía otros nombres para los axiomas. Solía llamarlos "las cosas comunes" u "opiniones comunes". En Matemáticas, los axiomas se pueden categorizar como "axiomas lógicos" y "axiomas no lógicos". Los axiomas lógicos son proposiciones o afirmaciones consideradas universalmente verdaderas. Los axiomas no lógicos, a veces llamados postulados, definen propiedades para el dominio de una teoría matemática específica, o declaraciones lógicas que se utilizan en la deducción para construir teorías matemáticas. "Cosas que son iguales a la misma cosa, son iguales entre sí" es un ejemplo de un axiom a bien conocido establecido por Euclides.

Postulados

El término "postulado" proviene del latín "postular", un verbo que significa "exigir". El maestro exigía a sus pupilos que argumentaran ciertas afirmaciones sobre las cuales él podría construir. A diferencia de los axiomas, los postulados tienen como objetivo capturar lo que es especial acerca de una estructura particular. "Es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto", "Es posible producir una línea recta finita continuamente en una línea recta", y "Es posible describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio" son algunos ejemplos de postulados ilustrados por Euclides.

¿Cuál es la diferencia entre los axiomas y los postulados?

• Un axioma generalmente es cierto para cualquier campo de la ciencia, mientras que un postulado puede ser específico en un campo particular.

• Es imposible probarlo a partir de otros axiomas, mientras que los postulados son demostrables a partir de axiomas.

Answer 3

Desde el punto de vista técnico, los axiomas son autoevidentes o autoexplicativos, mientras que los postulados simplemente se aceptan como dados. Sin embargo, realmente solo Euclides y teóricos de alto nivel y algunos polimatías hacen tal distinción. Ver http://www.friesian.com/space.htm

Los teoremas se derivan entonces de los "principios fundamentales", es decir, de los axiomas y postulados.

Answer 4

Axioma: No probado y se sabe que es incalculable usando otros axiomas

Postulado: No probado pero no se sabe si se puede demostrar a partir de axiomas (y teoremas derivados solo de axiomas)

Teorema: Demostrado usando axiomas y postulados

Por ejemplo, el postulado paralelo de Euclides se utilizó sin probar, pero durante muchos milenios se pensó que existía una demostración para él en términos de otros axiomas. Más tarde, se mostró definitivamente que no podía ser demostrado (por ejemplo, mostrando otras geometrías consistentes). En ese momento, se pudo convertir en un axioma para el sistema geométrico euclidiano.

Creo que marcar todo como postulados es un poco perjudicial, pero también refleja que sería casi imposible seguir si algún teorema no trivial no depende en algún lugar de un postulado en lugar de un axioma, además, los estándares para lo que constituye una 'prueba' cambian con el tiempo.

Pero creo que la estructura triple es útil para enseñar a estudiantes principiantes. Por ejemplo, puedes demostrar la congruencia de triángulos a través de SSS con algunos axiomas, pero puede ser increíblemente difícil y confuso/repetitivo, por lo que tiene sentido enseñarlo como un postulado al principio, usarlo, y luego volver y mostrar una prueba.

Answer 5

1. Dado que no es posible definir todo, ya que lleva a un bucle infinito de definiciones circulares, los matemáticos resuelven este problema imponiendo "términos no definidos". Palabras que nunca definimos. En la mayoría de las matemáticas, los dos términos no definidos son conjunto y elemento de.

2. Nos gustaría poder probar varias cosas relacionadas con los conjuntos. ¿Pero cómo podemos hacerlo si nunca definimos qué es un conjunto? Así que lo que hacen los matemáticos a continuación es imponer una lista de axiomas. Un axioma es alguna propiedad de tu objeto no definido. Así que aunque nunca definas tus términos no definidos, tienes reglas sobre ellos. Las reglas que los rigen son los axiomas. No se demuestra un axioma, de hecho uno puede elegir que sea lo que desee (por supuesto, si se hace sin pensar, llevará a algo trivial).

3. Ahora que tenemos nuestros axiomas y términos no definidos, podemos formar algunas definiciones principales para lo que queremos trabajar.

4. Después de definir algunas cosas, podemos escribir algunas pruebas básicas. Habitualmente conocidas como proposiciones. Las proposiciones son hechos matemáticos que generalmente son fáciles de probar y generalmente se derivan fácilmente de las definiciones.

5. Las proposiciones profundas que son un resumen de todos tus hechos recopilados actualmente suelen llamarse Teoremas. Una buena prueba de calidad, para saber la diferencia entre una Proposición y un Teorema, como alguien mencionó una vez aquí, es que si estás orgulloso de una prueba la llamas Teorema, de lo contrario la llamas Proposición. Piensa en un teorema como las metas finales que nos gustaría alcanzar, conexiones profundas que también son resultados muy hermosos.

6. A veces, al probar una Proposición o un Teorema, necesitamos algunos hechos técnicos. Esos se llaman Lemas. Los Lemas generalmente no son útiles por sí solos. Solo se utilizan para probar una Proposición/Teorema, y luego los olvidamos.

7. La colección neta de definiciones, proposiciones, teoremas, forma una teoría matemática.