Cómo pensar sobre la inducción parabólica.

Question

En el estudio de las representaciones de una reductora del grupo G, una técnica estándar es utilizar parabólico de inducción. La idea es que uno de los estudios de grupos tales como una familia (o tal vez en familias más pequeñas, como dicen simplemente tomar (productos de) GL_n) y, a continuación, tratando de entender las representaciones de los grupos más grandes a través de las representaciones de sus subgrupos más pequeños en la misma familia. La inducción es el functor para hacer esto, sino que inducen directamente a partir de un Levi subgrupo L (una clase natural de la reductora de los subgrupos) le da muy grandes representaciones -- el espacio homogéneo G/L no es proyectiva y lo haces en ella tendrá un montón de secciones. El remedio es utilizar parabólico de inducción: tomar el mayor subgrupo de P que contiene a L como es reductiva parte, y ampliar las representaciones de L a representaciones de P por dejar que el unipotentes radical de la U de P acto trivial. Luego se induce el resultado de P a G y (puesto que G/P es proyectivo), se obtiene una mucho más pequeña de representación, que puede factibles de estudio a través de Hecke álgebras etc.

Ahora en todo lo anterior, me parece que tiene más sentido pensar en L no como un subgrupo de G en absoluto, sino más bien la reductora cociente de la parabólica, el grupo P, es decir, como un subquotient de G sólo. Ahora, sin embargo, viene mi pregunta. Uno de los teoremas que demuestran a la hora de estudiar parabólico de inducción (estoy comenzar descuidado sobre el contexto deliberadamente, pero si te gusta, a la hora de estudiar finito grupo de Lie tipo de decir) es que no dependen de la elección de una parabólica que contiene L. Desde el mismo Levi puede estar en dos no conjugada parabólico subgrupos, esto los lleva de vuelta a la conclusión de que era mejor pensar en parabólico en la inducción como en una operación de las representaciones de los subgrupos de G, después de todo.

¿Cómo la gente piensa acerca de esto? "Por qué" es parabólico de inducción independiente de la elección de la parabólica? La prueba de esto en el contexto de grupos finitos de tipo de Mentira es como sigue: demostrar una fórmula para la composición de una parabólica de inducción seguida de una parabólica de restricción (usando dos arbitraria pares de Levi dentro parabólico), que expresa la composición como una suma de (parabólico) inducciones y las restricciones para los grupos más pequeños (como para el normal Mackey identidad en lo finito grupo). A continuación, considere el Hom espacio entre dos parabólico de inducción functors para el mismo Leví, y el aviso de que Frobenius reciprocidad permite escribir esto en términos de la Mackey identidad que tienes, y luego de la inducción en el rango de acabados.

Este argumento no parece ser muy esclarecedor mí (aunque eso podría ser porque yo realmente no lo entiendo), y sé que otra mancha de la prueba geométricas en el contexto de carácter poleas en una Mentira álgebra, que no estoy seguro de entender la representación de la teoría de contenido de. El resultado no es sólo una curiosidad -- el Harish-Chandra de la estrategia de la clasificación de las representaciones de G a través de cuspidal de datos quiere asociar a una representación irreducible de G un único "cuspidal datum" $(L,\rho)$ que consta de un Levi subgrupo L y un cuspidal de la representación de L (hasta la conjugación de G), y esto no tiene sentido sin la independencia de la parabólica.

También no recuerdo la situación de los p-ádico grupos: el "Mackey fórmula" argumento dibujé debe mostrar que la parabólica de inducción functors reciba no dependen de la parabólica, al menos en el nivel de la K-grupo (que iba a ser todo lo que usted necesita para obtener un cuspidal de la teoría de ejecución), pero los functors mismos que tal vez no son isomorfos (porque la identidad se convierte en algún tipo de filtración en la composición de la inducción y restricciones, que es probable que ya está en los grupos finitos tipo, así que tal vez lo mismo sucede ya para grupos finitos de la Mentira cuando escriba el estudio de representaciones modulares?

Answer 1

Dos observaciones:

1) existe una noción de inducción de órbitas nilpotente (Lusztig-Spaltenstein) donde se plantea una cuestión similar. En ese caso, es un argumento geométrico.

2) para grupos de p-ádicos mira hacia dos papeles viejos por Bernstein-Zelevinsky.

Answer 2

Quiero contribuir con algo de confusión. En la situación que conozco (grupos algebraicos), uno primero de puede restringir a un subgrupo de Borel $B$ con la propiedad que $B\cap L$ es un subconjunto de Borel de $L$. Recordar que si $P$ contiene $L$ y $B$, entonces restringir de $P$ y $B$ inducción siguiente hasta $P$ no $P$-módulos. Así que en lugar de inducir a partir de $P$ uno podría así primero restringir a $B$ y luego inducir encima de $B$ a $G$. Y todos los subgrupos de Borel son conjugado.

Answer 3

También he estado tratando de entender la imagen en grande aquí. Hasta donde yo sé, el punto clave es que los dos parabólico subgrupos $P$ y $Q$ de $G$ han conjugado Levis si y sólo si $P\barra invertida G/Q$ contiene una órbita que es la preimagen de un solo Bruhat celular en $P\barra invertida G$ y $G/Q$.

Algunos detalles más: (Mis disculpas si he echado en falta el punto de la pregunta y la siguiente ya se entiende bien a todo el mundo (o simplemente mal!). He tratado de escribir un argumento general que se pueda aplicar en diversos ámbitos, pero yo soy probablemente falta importante de las características de la prueba en cualquier ambiente particular.)

Supongamos que $P$ y $Q$ parabólico subgrupos de $G$, con Levi factores de $L$ y $M$ respectivamente (también prefiero pensar acerca de los Levis como subquotients de $G$). No debo suponer $L$ y $M$ están relacionados, para empezar.

Los subconjuntos de la doble coset espacio P $\backslash G/Q$ dar lugar a functors de representaciones de $L$ a las representaciones de $M$. Tomando el conjunto de P $\backslash G/Q$ corresponde a la functor $Res_{M,P}^G Ind_{L,P}^G$. Tomando subconjuntos más pequeños recoge sumandos de esta (tenga en cuenta que el Mackey fórmula expresa la restricción luego de la inducción como una suma sobre la doble cosets).

La parabólica $P$ da lugar a una integración de los sistemas de raíces de $L$ en el sistema de la raíz de $G$ (estoy siendo un poco descuidado aquí acerca de cómo/cuando estoy eligiendo Borels... esto puede ser más precisa en un número de maneras diferentes, espero que todos los de su equivalente) . El grupo de Weyl $W_L$ obtiene idetified con una parabólica subgrupo de $W_P$ del grupo de Weyl $W$ (lo mismo para $(Q,M)$). El Bruhat descomposición idetifies $P\barra invertida G/Q$ con $W_P \barra invertida W/W_Q$ (como juegos).

Por un menor abuso de la terminología Levis $L$ y $M$ puede ser dicho para ser conjugado si el sistema radicular de $L$ es conjugado a la raíz del sistema de $M$ con un elemento de $W$. Si hubiéramos elegido incrustaciones de $L$ y $M$ subgrupos de $G$, esto es equivalente a conjugar como subgrupos (de forma independiente de la elección de la parabólica). Este es también equivalente a $W_P$ ser conjugado a $W_Q$.

Se desprende de la Bruhat la descomposición que $L$ y $M$ son conjugadas si y sólo si hay un doble coset en $Q\ \ barra invertida G/P$, que es la imagen de una sola Bruhat celular en $P\barra invertida G$ y $G/Q$.

Déjame hacer las cosas más concretas para un segundo: supongamos que arreglar un Borel $B$, y se asume que $P$ y $Q$ contener $B$. Entonces $P$ y $Q$ son conjugadas si y sólo si son iguales. En ese caso $P$ es en sí un doble coset en $P\barra invertida G/P$. que ya es una Bruhat de la célula (es decir, de un punto). Si $P$ y $Q$ no conjugado, pero $W_P$ y $W_Q$, entonces hay un elemento $a\in W$ tales que $W_PaW_Q = W_Pa = aW_Q$. Esto significa que $PaQ = BaQ = PaB$.

Por lo tanto, no es un canónica functor de $Rep(L)$ $Rep(M)$. Este functor es invertible (su inversa es el doble correspondiente coset en $Q\ \ barra invertida G/P$). Si nos identificamos $L$ y $M$ compatible con la identificación de los sistemas de raíces, entonces afirmo este functor es la identidad. Además, por su construcción, este functor es un sumando de $Res_{M,P}^G Ind_{L,P}^G$. Para una representación $V$ de $L=M$, la identificación de los $Ind_{L,P}^G$ con $Ind_{L,P}^G$ es el adjunto de la inclusión de $V\a Res_{L,P}^GInd_{L,P}^GV$.

Observaciones: La parabólica, la inducción y la restricción de functors puede ser pensado como pull-push de poleas a lo largo de la siguiente correspondencia:

$BL \leftarrow BP \rightarrow BG$.

La composición de la correspondencia asociada a $(P,L)$ y $(Q,M)$ es

$BL \leftarrow BP \times_{BG} BQ = P\barra invertida G/Q \rightarrow BM$.

Para el anologue de estas ideas en el contexto de carácter poleas, debe reemplazar $P\barra invertida G/Q$ con su loopspace, la correspondiente relación de Steinberg variedad.

Answer 4

No una respuesta, pero aquí de una reformulación: esta pregunta es equivalente a preguntar por qué restricción parabólico no depende de la parabólica (restricción parabólico es el adjunto, por lo que se restringe a la parabólica y luego invariantes de la radical).

¿Tal vez el mapa de proyección para invariantes de un radical a invariantes del otro es un isomorfismo?

Answer 5

Las siguientes observaciones se refieren sólo a los privados de los casos, aunque creo que se puede generalizar:

1. G = GL(n,C). En el GL(3) ejemplo dado en uno de los comentarios, El G/P son Gr1(C^3) y Gr2(C^3) que son projectively dual como espacios proyectivos. En el caso más general de un máximo parabólico subgrupo de GL(n,C), no es el Grassmann la dualidad. En el caso general de G/P es una vista parcial de la bandera del colector, creo que la dualidad puede ser entendido como Grassmann dualidades de la Grassmann fibras en el iterado Grassmann paquete de fotografía parcial de la bandera del colector.

2. Hay casos donde el entrelazamiento de los operadores entre geométricamente se dio cuenta de las representaciones en G/P1 y G/P2 (compartiendo el mismo Levi subgrupo) están explícitamente construido, por ejemplo:

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~hoffmann/preprint/snowbird.pdf