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W. Mückenheim reclamos de una grave inconsistencia de la teoría de conjuntos transfinitos; verdad?

El resumen para un papel en arxiv.org (http://arxiv.org/pdf/math/0408089v3.pdf) lee (con el énfasis es mío):

"La teoría de conjuntos transfinitos, incluyendo el axioma de elección de los suministros de los siguientes teoremas fundamentales: (1) las Asignaciones entre los conjuntos infinitos siempre puede ser completado, de tal manera que al menos uno de los conjuntos está agotado. (2) El real los números pueden ser bien ordenado. (3) Las posiciones relativas de los números reales que son enumerados por números naturales siempre se puede determinar, en particular, el número máximo real por debajo de un determinado límite. (4) Cualquiera de los dos diferentes números reales están separados por al menos un número racional. Estos teoremas se aplican para asignar los números irracionales en los números racionales, mostrando que el conjunto de todos los números irracionales es contable."

Concluye: "[W]e puede decir que no hay diferentes infinitos. Si el axioma de elección es abolida, entonces el pedido de la continuidad y de grandes conjuntos es imposible, y no hay ninguna posibilidad de atribuir un número cardinal de los conjuntos. Si el axioma de elección se mantiene, a continuación, la continuidad puede ser demostrado contables, además de contradecir la teoría de conjuntos transfinitos."

Yo sólo era conseguir cómodo con $\omega$, $\omega+1$, $\omega 2$, $\omega^{2}$,$\omega^{\omega}$,$\epsilon_{0}$,$\Gamma_{0}$,$\Omega$ y $\Omega_{\Omega}$. Hay realmente sólo una $\infty$?

P. S. yo soy relativamente nuevo aquí: si, es inadecuado hablar de la literatura de aquí, o yo no se hacerlo bien, por favor hágamelo saber y voy a hacerlo mejor la próxima vez.

11voto

Schemer Puntos470

Este autor es conocido por sus afirmaciones sobre la teoría de conjuntos, así como incorporar las matemáticas no las toman en serio.

Para una detallada crítica de su estilo de argumento, véase esta revisión (en alemán) por Franz Lemmermeyer de un libro que él escribió.

Respecto al texto específico de vínculo, argumentos como este:

Los números racionales son numerables, mientras que los números irracionales son innumerables. Se argumenta que hacen los intervalos de la continuidad, separados por los números racionales que son sólo puntos. El conjunto de los intervalos formados por estos puntos, necesariamente, contables demasiado. Con el fin de apoyar la idea de una cantidad no numerable de números irracionales, debemos ser capaces de encontrar al menos un intervalo que contiene una cantidad no numerable de ellos.

debe dar una idea bastante clara de si usted quiere tomar esto en serio o no.

7voto

Tanner Swett Puntos1737

Yo estaba aburrido, así que leí el artículo en el fin de averiguar lo que está mal con él. El documento pretende crear una inyección de $\mathbb{X}_+$ (el positivo irrationals) a $\mathbb{Q}_+$ (los racionales positivos) en varias ocasiones la eliminación de un elemento de cada conjunto. La falla evidente que he encontrado es este (énfasis en conserva):

Si el conjunto $\mathbb{Q}_+$ se habían agotado prematuramente y no $q_n$ permanecido a disposición de mapa $ξ_n$, esta prueba sería un fracaso. Dejaríamos el contable de dominio y ya no podía hacer uso de Cantor "Lagenbeziehung" para seleccionar el mayor número racional $q \Q$ con $p < ξ_n$. Pero eso no puede ocurrir porque hay siempre un número racional entre dos números reales.

Este argumento no parece estar justificada, y de hecho es inválida. Supuestamente, $\mathbb{Q}_+$ no ser agotado antes de que $\mathbb{X}_+$, y así todos los elementos de $\mathbb{X}_+$ éxito será asignada a un elemento de $\mathbb{Q}_+$. De hecho, $\mathbb{Q}_+$ es agotado en primer lugar, y por lo que la prueba no fallar.


Este papel, en una nota a pie de página, también pretende refutar el Cantor de la diagonal argumento. Como era de esperar, esta refutación no tiene sentido, tampoco. Aquí es (énfasis en conserva):

Por cierto, aquí se encuentra la razón por la diagonal de Cantor argumento debe fallar, sin embargo. Cada número menor que $ω$ es un número finito, y es superado por otros finito de números [Cantor, p. 406]. Por lo tanto, si la lista contiene "cada número menor que $ω$", luego hay otros números que no figuran en la lista. La lista no es completa. Además, para finito de los números de el milagro de la discrepancia entre ordinales y cardinales número de vacío de su brujería. Por lo tanto el número cardinal de las líneas de la lista es finito, sin embargo grande de los ordinales finitos puede ser.

La última frase no siga.

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