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¿Por qué es de $\sin(d\Phi) = d\Phi$ donde $\Phi$ es muy pequeña?

No he tocado Física y Matemáticas (especialmente continua de Matemáticas) por un largo tiempo, así que por favor tengan paciencia conmigo.

En esencia, voy un par de conferencias de Física, uno de los cuales intenta calcular la Fuerza ejercida por el campo magnético uniforme en un semi circular cable de carga actual.

Las matemáticas que me intriga es este, que:

$$ \sin(d \phi) \thickapprox d\phi $$

donde $\phi$ es muy pequeña. Enlace a video.

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jlupolt Puntos369

Basta con dibujar el diagrama!

¿Qué $\sin x$ significa? es la relación del lado opuesto a la hipotenusa en un triángulo.

Ahora, vamos a dibujar un triángulo con un ángulo pequeño de $x$ en el interior del círculo unidad:

$\quad\quad\quad$enter image description here

Ahora claramente, cuando el ángulo se hace muy pequeño, el lado opuesto es aproximadamente la longitud de arco. En radianes, la longitud del arco de un círculo unitario es exactamente el ángulo $x$, y así tenemos para ángulos pequeños:

$$\sin x = \frac{\text{opuesto}}{\text{hypot}} = \frac{\text{opuesto}}{1}\approx \frac{x}{1} = x$$

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Adolfo Puntos2219

Si usted está familiarizado con la serie de Taylor de saber que la serie de $\sin(x)$ ampliado en $0$ es:

$$\sin{(x)} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots$$

Entonces, si $x$ es muy pequeño, usted puede prescindir de todos los términos de orden mayor que uno, consiguiendo:

$$\sin{(x)} \approx x$$

También puede mostrar este resultado con el uso de la trigonometría básica, pero este enfoque parece ser más fácil para mí.

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Hakim Puntos9161

Usted puede dar una aproximación lineal para $\sin$ cerca $0$ basa en la siguiente fórmula: $$f(x)\aprox f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0),$$ y con el hecho de que: $\sin^\prime=\cos$, se obtiene: $$\eqalign{\sin x&\approx \sin0+(x-0)\cos(0)= x.}$$ Así que cuando $x$ es muy pequeño, usted tiene que $\sin x\sim x.$


Lo que esto intuitivamente significa, es que cuando se las observa de cerca la gráfica de la curva de $\color{darkmagenta}{\sin x}$ cerca $0$, esto empieza a parecerse a una línea, y esta línea es descrito por $ $ y=\color{darkblue}x$.

$\phantom{XXX}$cc-1

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Morteza M. Puntos736

Creo que una forma de pensar de la misma es de $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$. Lo que significa que $x$ es muy pequeña, la relación va a uno, yo.e, $\sin x$ se puede aproximar por $x$.

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Evan Shaw Puntos7957

La sustitución de $x$ para $d \Phi$...

Yo diría que $\sin x \aprox x$ cuando $x \aprox 0$ porque...

  1. $\sin x$ es un varían suavemente función sin discontinuidades.
  2. $\sin x = 0$ cuando $x = 0$
  3. El gradiente de $\sin x$ es igual a la pendiente de $x$ cuando $x = 0$
  4. El segundo orden derivados de $\sin x$ es $-\sin x$, que es $0$ cuando $x=0$

Sobre el punto 3, el derivado de $\sin x$ es $\cos x$, que evalúa a $1$ cuando $x=0$, y el derivado de $x$ es $1$ (en todos los puntos).

Esto está estrechamente relacionado con el desarrollo en serie de Taylor argumento.

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