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Vamos a R un anillo. Probar que si $x^2=x$ por cada $x \in R$, entonces R es un anillo conmutativo.

Vamos a R un anillo. Probar que si $x^2=x$ por cada $x \in R$, entonces R es un anillo conmutativo.

Ok, así que estoy buscando una confirmación de que lo estoy haciendo correctamente.

Si suponemos $x,y \in R$ Consideremos $(x+y)^2$,

A continuación, $(x+y)^2 = x^2+xy+yx+y^2$ pero $x^2=x$ $y^2=y$

También podemos ver que para todos los $x \in R, x=-x$

Por eso, $(x+y)^2= x+xy+yx+y$

También, por nuestra determinado$(x+y)^2=(x+y)$, por lo que

$x+y =x+xy+yx+y$, La solución de este algebraicly nos da $-yx=xy$ pero desde $(-yx)^2=(yx)$,

Tenemos, $yx=xy$, por lo Tanto R es conmutativo. ¿Que acerca de envolver?

4voto

Jukka Dahlbom Puntos 1219

Como se indicó en los comentarios, tu prueba es correcta.

Sin embargo, sería la prueba más legible si se podría explicar más a fondo los pasos siguientes de la igualdad de $-yx = xy$.

Alternativamente, podría ser más fácil explícitamente que $x = -x$ todos los $x \in R$, según MooS, explica.

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