Valores propios de la matriz de bloques $C=\begin{bmatrix}I &-I\\L&0\end{bmatrix}$

Question

Considere la siguiente matriz $$C=\begin{bmatrix}I &-I\\L&0\end{bmatrix}$$ donde para $L$ que tenemos:

$$L\mathbf{1}=0$$

$$\mathbf{1}^TL=0$$

$$\text{rank}(L)=\dim(L)-1$$

$$L+L^T\geq 0$$

cero es un valor propio simple de $L$ y $L+L^T$ .

Podemos demostrar que $C$ tiene un valor propio cero y otro igual a $-1$ ¿qué podemos decir del resto de valores propios?

Por ejemplo, sabemos que cuando $L=L^T$ , $C$ sólo tiene un cero simple y el resto de los valores propios tienen partes reales negativas.

Los ejemplos numéricos demuestran que la mayoría de las veces $C$ sólo tiene un cero simple y el resto de los valores propios tienen parte real negativa, pero a veces aparece también un par de valores propios con parte real cero. ¿En qué condiciones aparece este par?

Answer 1

Podemos mostrar $\lambda$ es un valor propio de $C$ sólo si $-\lambda(\lambda + 1)$ es un valor propio de $L$ .

Sabemos que $L$ tiene un espacio nulo unidimensional, y fijando $-\lambda(\lambda+1) = 0$ muestra que $\lambda = 0,-1$ son valores propios de $C$ .

Por supuesto, esta es una forma de obtener un valor propio de $C$ que tiene parte real nula, es decir, cero. ¿Existe otra posibilidad? Sea $r$ sea un valor propio de $L$ quizás complejo. Si $bi$ fuera un valor propio puramente imaginario de $C$ debemos tener:

$$ -bi(bi+1) = r $$

$$ r = b^2 - bi $$

Si $L$ es una matriz real, sus valores propios complejos aparecen en pares conjugados. Así pues, $\overline{r} = b^2 + bi$ da lugar a otro valor propio puramente imaginario $-bi$ de $C$ .

Que el polinomio característico de $C$ tiene la forma $det(\lambda(\lambda+1)I + L)$ se deduce de un breve cálculo:

$$ \lambda I - C = \begin{pmatrix} (\lambda+1)I & I \\ -L & \lambda I \end{pmatrix} $$

De ahí nuestra afirmación de que $\lambda$ es un valor propio de $C$ sólo si $\lambda(\lambda+1)$ es un valor propio de $-L$ .