Los índices en la geometría diferencial

Question

Muchas veces en la geometría diferencial es conveniente la utilización de sumación de Einstein de la notación, y allí se presentó a principio de los graduados y estudiantes universitarios avanzados por igual, que si usted ve dos índices que son la misma letra con uno superior y otro inferior, escrito junto a la otra, entonces hay una implícita símbolo de la adición.

No, en serio, matemáticamente riguroso noción puede depender de la forma particular en la que podemos elegir para comunicarse, y así a pesar de que podría destrozar el convenio de sumación de Einstein, haciendo todo tipo de flequillo caso de preguntas del tipo "¿ de sumación de Einstein notación se aplica en este caso" se entiende generalmente suficiente de que es aceptado como una forma de comunicación, más o menos traicionero que el hecho de que podemos escribir símbolos en el papel. (O que, en general, que no escribo todos los cuantificadores o el uso lógico de los símbolos en prosa.) Es la misma luz que me haga las siguientes preguntas, pero espero que cualquier ms responden también alerta de mí si no es riguroso contenido de esta:

A veces la gente parece derivar más significado que una contabilidad dispositivo de Sumación de Einstein de si un índice es escrito en una posición en particular. No entiendo lo que la gente está tratando de comunicar, pero puedo reconstruir lo suficiente de lo que se espera que puedan ayudarme:

1. A veces escribir superior índices indica algo de un "doble" de la naturaleza. Por ejemplo, de sumación de Einstein se utiliza a menudo cuando contratamos un vector dual se aplica a un vector.
2. A veces escribir algo superior indica la inversión. Por ejemplo, $g^{ij}$ $ij_{th}$ entrada de la inversa de la matriz $(g_{ij})$ que es la matriz de la métrica de Riemann de una determinada coordenada de base para sí mismo.
3. A veces, la de izquierda a derecha, el orden de los índices en un complicado tensor de la materia.
4. Creo que he visto los índices escrito a la izquierda de un símbolo matemático.

Mis preguntas son:

una. Es allí cualquier sistema para la ubicación de un índice significa? O es simplemente extraordinario caso por caso especial? Por ejemplo, es 2. una instancia de una más general, o es que la inversión es solo en el caso de $g_{ij}$. 2. y 1. parecen estar en conflicto? O tal vez ni 1. ni el 2. espera, que no tiene ningún sentido, y lo que ocurre es que tanto para el caso de la inversión y la transposición, es conveniente escribir simplemente superior a los índices, de manera que de sumación de Einstein es, en efecto?

b. Cual de estos implica más importancia que una simple contabilidad dispositivo para Einstein la notación de sumatoria, entre los puntos 1 y 2. de arriba?

c. En los puntos 3. y 4. Yo ni siquiera soy consciente de lo que el "cara-valor" significado es, como en no saber cómo realizar un cálculo con estas cosas. Por ejemplo, es un lateral izquierdo índice se supone que significa eso transposición o algo?

Siéntase libre de simplemente conectar me a un recurso, pero la mayoría de los peatones búsquedas por mi parte no he revelado nada de autoridad. Yo era incapaz de rigor entender introductorio de la geometría diferencial para la mayoría de mi carrera, porque pocas personas se detuvo a explicar su notación, así que espero que además de ayudar a mí ahora, esto podría ser útil para alguien más luchando de la misma manera en el futuro.

Answer 1

1. A veces escribir superior índices indica algo de un "doble" de la naturaleza. Por ejemplo, de sumación de Einstein se utiliza a menudo cuando contratamos un vector dual se aplica a un vector.

Este es el único significado de la parte superior de los índices de la que soy consciente. Es decir, los subíndices denotan covariante componentes de un tensor, mientras que los superíndices indican contravariante de los componentes. Ver esta Wikipedia sección.

2. A veces escribir algo superior indica la inversión. Por ejemplo, $g^{ij}$ $ij$ésima de la matriz inversa $(g_{ij})$ que es la matriz de la métrica de Riemann de una determinada coordenada de base para sí mismo.

Este es un caso especial de #1. En particular, $g^{ij}$ representa el $ij$ésima componente de la contravariante del tensor métrico. Como una matriz, el contravariante tensor métrico pasa a ser la inversa de la matriz de la covariante tensor métrico $(g_{ij})$. Ver el artículo de la Wikipedia sobre la subida y bajada de los índices.

3. A veces, la de izquierda a derecha, el orden de los índices en un complicado tensor de la materia.

En principio, la de izquierda a derecha, el orden de los índices siempre importa. Por supuesto, si un tensor pasa a ser simétrica, entonces los índices pueden ser intercambiadas sin afectar el valor.

4. Creo que he visto los índices escrito a la izquierda de un símbolo matemático.

Yo no soy consciente de que este tipo de notación.

Cual de estos implica más importancia que una simple contabilidad dispositivo para Einstein la notación de sumatoria, entre los puntos 1 y 2. de arriba?

Quizás el abtract índice de notación artículo arrojar algo de luz sobre esto para usted. Índice de notación es realmente fundamental para la naturaleza de los tensores.

Edit: Personalmente, yo también siento que he ganado un montón de visión de Einstein índice de notación que cuando me enteré de Penrose notación gráfica. Ver el artículo de la Wikipedia, o El Camino a la Realidad por Roger Penrose.

Answer 2

Usted debe tratar de ejemplos muy sencillos, sólo para acostumbrarse a la notación:

Deje $V$ ser un espacio vectorial, $(e_1,\dots,e_n)$ base $(e^1,\dots,e^n)$ una base para el espacio dual $V^*$ y dejar $v\in V$, $h\in V^*$. Entonces $$ v=v^i e_i $$ por un puñado de números de $v^i$, y $$ h=h_j e^j $$ por un puñado de números de $h_j$. Si se evalúa $h(v)$ consigue $$ h(v)=h_j e^j (v^i e_i) = h_j v^i^j(e_i)=h_jv^j $$ que es algo automático. Así vector-componentes de seguridad de los índices, los vectores duales (aka formas) se han índices de abajo. Ahora vamos a $A$ ser un homomorphism $V\rightarrow W$ y deje $u=(u_1,\dots,u_m)$ ser una base de W. Entonces $$ A(v)=(v^i e_i)= v^i a(e_i) = v^i^j_i u_j = A^j_i v^i u_j $$ para $nm$ números de $A^i_j$, lo que llamamos un tensor de tipo de 1,1.

Ahora $g_{ij}$ puede tomar dos vectores para producir un número ($g_{ij}v^iw^j$), mientras que $g^{ij}$ toma de dos vectores, por lo que realmente debería pensar de $g_{ij}$ como la matriz de una forma bilineal.

Answer 3

I believe I've seen indices written to the left of a mathematical symbol.

Los únicos ejemplos que puedo pensar en donde he visto este tipo de cosas son:

• Una notación para los coeficientes binomiales y funciones relacionadas: ${}_nC_r = \binom{n}{r}$
• Funciones hipergeométricas: por ejemplo, ${}_2F_1(a,b;c;z)$
• El espectro de secuencias asociadas a una filtración: por ejemplo, ${}^{II} E^n_{p,q}$