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Probabilidad cero y la imposibilidad

He leído un comentario debajo de esta pregunta:

Hay un montón de eventos que pueden ocurrir que tienen probabilidad cero.

Esto me recuerda que he visto similares diciendo antes que en otros lugares, y nunca he sido capaz de hacer sentido de ella. Así que me preguntaba

  1. si es cero la probabilidad y la imposibilidad significan lo mismo?
  2. si un evento con probabilidad cero no significa que el evento se imposible de ocurrir, cómo la probabilidad la teoría representa/describe imposibilidad?

Gracias y saludos!

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Creo que el quid de la cuestión es lo que la probabilidad de que realmente es. En la vista Bayesiano, las probabilidades son las medidas de (personal) de la confianza o creencia, así que es bastante obvio por qué un evento con una probabilidad de cero no es la misma cosa como un imposible evento. Pero tal vez esto no es una respuesta satisfactoria. En la vista frecuentista, las probabilidades son la asintótica en la frecuencia de eventos como el número de ensayos independientes tiende a infinito. Aquí de nuevo wee ver que algo que ocurre con probabilidad cero no es el mismo como algo imposible; es simplemente algo que sucede con frecuencia que el numerador en $\dfrac{\text{.}}{\text{ensayos}}$ es dominado por el denominador.

Poniendo de lado estas cuestiones filosóficas, también hay una cuestión técnica para ser discutido aquí. En virtud de la medida habitual de la teoría de la formulación de la teoría de la probabilidad, tenemos un espacio muestral $\Omega$ y una familia de $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ de eventos (subconjuntos medibles de $\Omega$), y la probabilidad de un evento $A \in \mathcal{F}$ es su medida $\mathbb{P}(A)$. No hay nada en los axiomas de la teoría de la medida que decir que un conjunto no vacío debe tener un valor distinto de cero de la medida; y si interpretamos $\mathcal{F}$ como el conjunto de todos los eventos posibles, es claro que la imposibilidad de un evento no es la misma cosa como un evento de probabilidad cero.

Para dar un ejemplo concreto, considere la posibilidad de una variable aleatoria de $X$, que es distribuida uniformemente en el intervalo $[0, 1]$. Aunque en $\mathbb{P}[X \in (a, b)] = b - a$ para todo $(a, b) \subconjunto [0, 1]$, los axiomas de la probabilidad nos obligan a concluir que $\mathbb{P}[X = x] = 0$ para cualquier individuo $x \in [0, 1]$ si $\mathbb{P}[X = x] = \epsilon > 0$, debido a que $X$ es distribuido uniformemente, por la suma de las probabilidades de los distintos eventos, estaríamos obligados a concluir que $[0, 1]$ contiene en la mayoría de los $\frac{1}{\epsilon}$ (un número finito!) puntos, lo cual es absurdo.

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Cros Puntos 1853

Probabilidad cero no es imposible. Si tuviese que elegir un número al azar de la línea real, 1 tiene probabilidad cero de ser seleccionados, pero aún así es posible elegir 1.

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Matt Dawdy Puntos 5479

Los matemáticos en general formalizar la probabilidad mediante la noción de un espacio de probabilidad y teoría de la medida. En este formalismo es posible para un evento a tiene probabilidad $0$ sin ser el evento vacío. Quizá la más simple "realista" (y uso la palabra vagamente) ejemplo de este tipo de evento es el evento de un tirón sólo los jefes infinidad de veces. Este evento ha probabilidad $0$, pero no está vacío, que es lo que uno podría llamar una definición formal de "imposible".

La probabilidad subyacentes espacio es el conjunto de formas posibles para voltear una moneda infinidad de veces. Un ejemplo de la imposibilidad de un evento aquí es que usted mueve de un tirón, dicen, cat. La moneda tiene sólo un cabezales de lado y una de las colas lado; no tiene un gato al lado, así que volteo gato es imposible.

(Si este formalismo dice nada razonable acerca de que el mundo real es discutible. En la práctica, los eventos de suficientemente pequeña probabilidad son ya imposible. Lo anterior es sólo una declaración acerca de un cierto formalismo matemático que ha demostrado ser útil en ciertos contextos. En matemáticas, queremos demostrar afirmaciones acerca de cierta clase de objetos. A veces podemos probar que la afirmación se sostiene con una probabilidad de 1$$, pero esto no implica que la misma tiene para todos los objetos, y ya que realmente preocupa a todos los objetos de esta distinción realmente necesita ser hecho en matemáticas).

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user11180 Puntos 136

Deje que $A$ ser un evento, $\Pr$ ser la probabilidad de medir.

$A$ tiene probabilidad cero si $\Pr(A) = 0$.

$A$ es imposible si $a=\emptyset$.

Imposibilidad implica probabilidad cero, pero lo contrario es falso. Considere la posibilidad de la línea real de $\mathbb{R}$; si se selecciona aleatoriamente un número de $x$, la probabilidad de que $x=0$ $0$, pero no es imposible. De hecho, la probabilidad de que $x$ pertenece a algún contables conjunto, e.g $\mathbb{Q}$, es también $0$.

Desde una perspectiva puramente punto de vista matemático, la imposibilidad es simplemente una declaración más fuerte, por lo que la imposibilidad no puede ser descrita por la probabilidad de medir. Sin embargo, otra forma de pensar podría arrojar algo de luz. Es decir, si la probabilidad de que algo existe, tiene probabilidad mayor que $0$, entonces existe. Esta noción ha sido utilizada por algunos argumentos matemáticos.

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