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Demostrar que un polinomio no es soluble por radicales.

Estoy tratando de demostrar que el siguiente polinomio no es soluble por radicales:

$$p(x) = x^5 - 4x + 2 $$

En primer lugar, por Eisenstein es irreductible.

(No es difícil ver que este polinomio tiene exactamente 3 raíces reales)

¿Cómo puedo proceder?

Gracias!

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Kaj Hansen Puntos 15355

La motivación para el trabajo a continuación: queremos demostrar que el polinomio tiene grupo de Galois $S_5$, que es una irresoluble grupo. Para ello, será suficiente para demostrar que el grupo de Galois, cuando se ve como una permutación de grupo, tiene un $5$-ciclo y un $2$-ciclo.


Deje $K$ ser la división de campo de la $f$. Será útil para ver el grupo de Galois $G(K/\mathbb{Q}) \subseteq S_5$ como una permutación grupo que actúa sobre las cinco raíces de $f$.

Ahora bien, dado que el $f$ es una irreductible quintic, imaginen que lindan con uno de sus verdaderas raíces a $\mathbb{Q}$ para producir un grado-$5$ de extensión. Esto produce que la torre de campos de $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}[\alpha] \subset K$. Desde $|G(K/\mathbb{Q})| = [K:\mathbb{Q}] = 5\cdot[K:\mathbb{Q}[\alpha]]$, entonces sabemos que $5$ divide $|G(K/\mathbb{Q})|$. Por Cauchy teorema, debe existir un elemento en $G(K/\mathbb{Q})$ orden $5$. En otras palabras, $G(K/\mathbb{Q})$ debe contener una $5$-ciclo.

De pasar, ya que el polinomio tiene dos raíces complejas, decir $a + bi$$a-bi$, entonces existe un $\phi \in G(K/\mathbb{Q})$ tal que $\phi(a+bi) = a-bi$ y corrige el $3$ bienes raíces. En particular, $\phi$ $2$- ciclo.

Luego, es un teorema que cualquier $2$-ciclo junto con cualquiera de los $p$-ciclo de generar todo el grupo simétrico $S_p$ para todos los números primos $p$. A partir de esto, podemos concluir que $G(K/\mathbb{Q}) \cong S_5$.

Todo lo que queda es demostrar que el $S_5$ no es solucionable grupo. Esto es debido a que $A_5$ es el único subgrupo normal de $S_5$, y desde $A_5$ no contiene subgrupos normales, entonces no podemos construir una cadena de grupos de $\{e\} \subset G_1 \subset G_2 \subset ... \subset S_5$ de manera tal que cada una de las $G_{j-1}$ es normal en $G_j$ $G_{j}/G_{j-1}$ es abelian.

Desde el grupo de Galois de $f$ no es solucionable, entonces podemos concluir que las raíces de $f$ no son resolubles por radicales.

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