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¿El vector cero tiene una dimensión cero?

Sé que esto suena como una pregunta sarcástica, pero sólo quiero organizar y aclarar lo que he estudiado.

Para un $n \times n$ matirx $A$ tiene columnas independientes cuando el espacio nulo sólo tiene un vector cero. Y las columnas independientes significan $A$ tiene rango $n$ por lo tanto, según el teorema de rango, el espacio nulo tiene dimensión cero. Es decir, el vector cero es de dimensión cero, ¿correcto?

Y una cosa más. Quiero mostrar que $ \lbrace Av_1,...,Av_n \rbrace $ span $R^n$ cuando $ \lbrace v_1,...,v_n \rbrace $ forman una base. ¿El teorema de la dimensión se usa aquí? Si es así, ¿cómo puedo mostrar que $ \lbrace Av_1,...,Av_n \rbrace $ span $R^n$ ?

9 votos

Los vectores no tienen dimensión.

8voto

Rudy the Reindeer Puntos 20855

Sí, pero aquí hay un pequeño detalle: Un vector no tiene una dimensión, quieres decir que el subespacio abarcado por el vector cero tiene dimensión cero.

Para la segunda pregunta puedes utilizar el teorema de nulidad de rango. Se tiene $\mathrm{dim} \mathrm{ker} A = 0$ y por lo tanto $\mathrm{dim} \mathrm{im} A = \mathrm{dim}R^n - \mathrm{dim} \mathrm{ker} A = \mathrm{dim}R^n$ de ahí que el $v_i$ span $R^n$ .

0 votos

Sí, pero el problema es que no tengo ni idea de cómo aplicar el teorema de nulidad de rango aquí. Por favor, indique los detalles y así podré seguirlo.

0 votos

@email He añadido algunos detalles. Espero que esto ayude.

2voto

Joseph Holsten Puntos 4116

El concepto de dimensión se aplica a los conjuntos de vectores, en particular a los subconjuntos de espacios vectoriales que también son subespacios. Así, es más apropiado decir que el subespacio formado por el vector cero tiene dimensión cero.

Si usted está asumiendo que $A$ es una matriz cuadrada y tiene columnas independientes, tiene rango máximo. Una matriz con rango máximo es invertible y el mapa lineal inducido por la multiplicación a la izquierda por $A$ es un isomorfismo. Los isomorfismos siempre asignan una base a otra base.

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