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¿Es el conjunto de números naturales cerrado bajo resta?

Estaba leyendo mi libro de texto ahora en teoría elemental del número, y surgió esta pregunta. Me tiene preguntándome: ¿cómo se puede resta realizar en dos elementos $x,y\in\mathbb{N}$ si la sustracción se define en $x-y=x+(-y)$ y $\forall a\in\mathbb{N}, 0<a<\infty$?

Me doy cuenta de que $1-10=-9$, que no se encuentra en $\mathbb{N}$. ¿Pero la pregunta solo me molesta porque me gustaria saber si técnicamente se pueden restar dos elementos de $\mathbb{N}$?

11voto

MJD Puntos 37705

Regular la resta no está bien definida sobre los números naturales. En número natural contextos, a menudo se ocupa lugar con trunca la resta, la cual se define: $$a\dot-b = \begin{cases}0,&\text{if $\le b$}\\ a-b&\text{if $\ge b$}\end{cases}$$

Por ejemplo, se puede definir un truncado de la resta en la aritmética de Peano de la siguiente manera: $$\begin{array}{rcrl} 0 & \dot- & n & = 0 \\ Sn & \dot- & 0 & = Sn \\ Sn & \dot- & Sm & = n\dot- m \end{array} $$

Uno puede definir de manera similar que en el contexto de la Iglesia números, o en el contexto del total de funciones recursivas.

Esto es a menudo suficiente para lo que a los efectos de una de las necesidades de la resta.

4voto

A.P. Puntos 6582

Resta se define parcialmente en $\Bbb N$, es decir, se define sólo para algunos pares de números naturales. Usted no puede definirlo como $x-y=x+(-y)$, sin embargo, desde $-y\notin \Bbb N$.

Se puede definir $x-y=z$ $x,y\in \Bbb N$ apenas como el $z\in \Bbb N$, si existe, tal que el $y+z=x$.

4voto

Drew Jolesch Puntos 11

No, la resta no es cerrada en el conjunto de los números naturales.

Se puede definir la diferencia entre el $a$ y $b$, $a, b \in \mathbb N\,$ en términos de la magnitud de la diferencia: tomando el valor absoluto: $|a - b|$$a, b \in \mathbb N$, pero el problema con el "normal resta" es que $\,a - b = a + (-b)$. Y aquí, $-b$ es el inverso aditivo de a $b$: y desde aquí tenemos $b \in \mathbb N$, a menos que $b = 0$ (si $\mathbb N$ incluye $0$), $-b \notin \mathbb N$.

  • El inverso aditivo de un número entero $n$ es el número tal que para cualquier $n \in \mathbb Z$, $\,n + -n = -n + n = 0,\;$ donde $\,0\,$ es la identidad aditiva.

  • Por lo tanto, tenemos los números enteros, que son cerrados bajo la resta, (o en lugar cerrado bajo la recíproca), y por lo tanto la definición de la resta de los números enteros no presenta problemas.

  • Sin embargo, para todos los $n \in \mathbb N$, n\neq 0,\; n \noen \mathbb N$. Que, esencialmente, es lo que significa cuando decimos que el conjunto de los números naturales no es cerrado bajo la resta (...porque no es cerrado bajo la recíproca).

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