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Hay $ \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3}, \ldots ,\vec{a_n},\vec{b}\; $, que $ |\vec{a_i}|>1 $, $ |\vec{b}|<1 $, $ \vec{a_1}+\cdots+\vec{a_n}=0 $. Probar: $ |\vec{a_1}-\vec{b}|+\cdots+ |\vec{a_n}-\vec{b}| > n $

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Simon Puntos 9025

Lema. Que $\vec{a}$ un vector distinto de cero y $\vec{b}$ otro vector. Entonces $|\vec{a}-\vec{b}|\ge |\vec{a}|-\vec{b}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$.

Prueba de lema. Uso $|\vec{x}||\vec{y}|\ge \vec{x}\cdot\vec{y}$ $\vec{x}=\vec{a}-\vec{b}$ y $\vec{y}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$.

De la prueba. Con el lema anterior, obtenemos\begin{align*} &\sum_{i=1}^n|\vec{a_i}-\vec{b}|\\ &\ge \sum_{i=1}^n \left(|\vec{a_i}|-\vec{b}\cdot\frac{\vec{a_i}}{|\vec{a_i}|}\right)\\ &=\sum_{i=1}^n \left(1-\vec{b}\cdot\vec{a_i}\right)+\sum_{i=1}^n\left(|\vec{a_i}|-1+\vec{b}\cdot\frac{\vec{a_i}}{|\vec{a_i}|}\cdot (|\vec{a_i}|-1)\right)\\ &=n-\vec{b}\cdot\sum_{i=1}^n \vec{a_i}+\sum_{i=1}^n\frac{|\vec{a_i}|-1}{|\vec{a_i}|}(|\vec{a_i}|-\vec{b}\cdot\vec{a_i}). \end{align*}

Aquí, el segundo término $\vec{b}\cdot\sum_{i=1}^n \vec{a_i}$ es cero. El tercer término es positivo porque $|a_i|>1$ y $$|\vec{a_i}|>|\vec{b}||\vec{a_i}|\ge \vec{b}\cdot\vec{a_i}.$ $ la primera desigualdad se sigue de $|b|<1$. Por lo tanto, $$\sum_{i=1}^n|\vec{a_i}-\vec{b}|>n.$ $

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