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¿Cuántas parejas de enteros positivos (x, y) que satisfacen la ecuación $ x^2 - 10! = y^2$?

Tengo una pregunta acerca de la teoría de números.

¿Cuántos pares de enteros positivos $(x,y)$ que satisfacen la ecuación de $$x^2 - 10! = y^2$$ ?

Mi intento:

Mueva el $y^2$ desde la derecha a la izquierda y 10! De la izquierda a la derecha de tal forma que:

$$x^2-y^2= 10!$$

$$(x-y)(x+y)=10!$$

$$(x-y)(x+y)= 10.9.8.7.6.5.4.3.2$$

Hasta este paso, creo que voy a tener muchas posibilidades de conseguir la respuesta, tal que:

$$(x-y)= 10.9$$ and $$(x+y)= 8!$$

También

$$(x-y)= 10.9.8$$ and $$(x+y)= 7!$$

Y otra de las posibilidades, como $$(x-y)=10.9.8.7$$ and $$(x+y)=6!$$

Y así sucesivamente hasta que $$(x-y)=10.9.8.7.6.5.4.3.2$$ and $$(x+y)=1$$

Y creo que la solución de todos la posibilidad es un poco tedioso trabajo. Puede alguien ayudarme a encontrar una mejor solución para resolver este tipo de problema?

Gracias

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freethinker Puntos 283

$10!=2^83^45^27$
Desea dividir esto en dos factores, uno de los cuales es un múltiplo de $7$.
Los factores deben ser incluso lo contrario $x$ y $y$ no serán números enteros.
Así que el factor que incluye $7$ debe tener de uno a siete 2; de cero a cuatro 3 y de cero a dos 5. ¿Cuántas existen en conjunto?

1voto

marty cohen Puntos 33863

¡Escriba $10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2 = 2 ^ 83 ^ 45 ^ 27 $.

Usted quiere $(x+y)(x-y)=10!=ab$ $x+y=a$ y $x-y=b$. $x = (a+b)/2$ Y $y = (a-b)/2$. Así $a$ y $b$ tiene que tener la misma paridad.

Continuación, seleccione $2^a3^b5^c7^d$ con todas las opciones posibles de satisfacer lo anterior. Ya que tienen que tener la misma paridad, $a$ debe tener $2^n$ donde $1 \le n \le 6$.

Esto es un comienzo.

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