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Curiosidad: ¿La definición de la derivada no sería siempre 1 si existe?

Estoy bastante seguro de que tengo la intuición equivocada aquí, pero tengo una ligera confusión acerca de la forma en que podríamos calcular la derivada en un punto determinado utilizando (una de) la definición (s) de la derivada. Ver ejemplo abajo:

$$\frac{df(x)}{dx}= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

veamos el caso de $f(x) = \sqrt{5x+10}$

$$\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{5h+5x+10}-\sqrt{5x+10}}{h}$$

Si queremos calcular $f'(5)$

$$\left.\frac{df(x)}{dx}\right\rvert_5=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{5h+35}-\sqrt{35}}{h}$$

si intentamos encontrar los límites cuando $h\to0^+$ :

  • El numerador sería sólo ligeramente superior a 0

  • El denominador sería sólo ligeramente superior a 0

$$\frac{\text{very small number above zero}} {\text{very small number above zero}}\approx 1$$

Debería ser el mismo para $h\to 0^-$

Por lo tanto: $f'(5)= 1$ ?

N.B: Sé que este resultado es erróneo, sólo quiero saber cómo la lógica que he utilizado es defectuosa.

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No todos los números muy pequeños son aproximadamente iguales, al igual que no todos los números en general son aproximadamente iguales.

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$0.0000002$ es un $very\_small\_number\_above\_zero$ y también $0.0000001$ Sin embargo $\frac{0.0000002}{0.0000001}\neq 1$ .

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Dividiendo por números pequeños se obtienen números grandes. Mientras que ambos son un número pequeño por encima de $o.$ El denominador es más del doble que el numerador.

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Reese Puntos 140

El enfoque intuitivo para resolver un límite, en la línea de "ligeramente más que cero" o "ligeramente menos que cero" es sólo eso - un intuitivo enfoque. Es decir, es una buena regla empírica que a menudo te acerca a la respuesta correcta, pero en realidad no es correcta. El problema es que, cuando hay varias expresiones en juego, la forma en que se utilizan no es la misma. sincronizar es importante.

Por poner un ejemplo muy sencillo $\lim_{x \to 0}\frac{2x}{x}$ . $2x$ y $x$ son ambos "números muy pequeños" cuando $x$ es muy pequeño, pero $x$ se hace pequeño el doble de rápido que $2x$ hace. En cualquier instante, $\frac{2x}{x}$ de hecho siempre será $2$ por lo que el límite es $2$ .

La idea clave aquí es que el definición del límite es lo que lo impulsa. La definición de límite establece que $\lim_{x \to a}f(x) = L$ si y sólo si para cada $\epsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ de modo que siempre que $|x - a| < \delta$ , $|f(x) - L| < \epsilon$ . Lo que demuestra tu ejemplo es que la idea intuitiva de sustituir piezas de $f$ con "números positivos muy pequeños" no es un reflejo exacto de esta definición.

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En este caso, proporciona una estimación con un error inferior (o igual) a infinito. Rápido y sucio, pero lo acepto.

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Esta regla empírica es útil para comparar un número "ligeramente superior a cero" con un número "claramente alejado de cero".

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Pongamos tu ejemplo:

$$\frac{\sqrt{5h+35}-\sqrt{35}}{h}$$

y hacer $h$ un número muy pequeño, digamos $0.0000001$ por lo que tenemos

$$\frac{\sqrt{35.0000005}-\sqrt{35}}{0.0000001}$$

que se trata de

$$\frac{0.0000000422577}{0.0000001}$$ es decir, alrededor de $0.422577$ en lugar de $1$ aunque sea un número muy pequeño dividido por un número muy pequeño. De hecho, se aproxima a $\dfrac{\sqrt{35}}{14}$ que es lo que el cálculo sugeriría que es la derivada exacta $f'(x)=\frac{5}{2} (5x+10)^{-1/2}$ en $x=5$

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Dydo Puntos 176

El error formal es fácil de explicar, pero tal vez la pregunta se refiera a la incomprensión de lo que se hace en este tipo de problema de forma más general, así que doy una respuesta más "meta".

Es la idea misma del análisis: no conocemos exactamente las cantidades con las que estamos tratando, así que nos permitimos cambiar un poco el problema para poder resolverlo, con la esperanza de que ilumine el problema original. En el análisis sólo podemos tratar muy pocos problemas, con objetos específicos e hipótesis sólidas, pero entender esos casos más sencillos ayuda a veces a comprender mejor los objetos originales (véanse sobre todo los problemas procedentes de la física).

Sin embargo, Eso no significa hacer lo que a uno le parezca razonable e intuitivamente defendible. De hecho, Dieudonné dijo que el análisis sólo se trataba de " limitando por abajo, limitando por arriba, aproximado ", y no podemos olvidar la idea principal que subyace: tenemos que controlar el resto, simplificar pero sabiendo lo que hacemos, sin olvidar lo que cambiamos y asumimos, de lo contrario sólo cambiamos el problema y nunca podremos volver. Esta idea, creo, debe seguir siendo uno de los mayores faros para entender y hacer análisis.

Propones que esas dos cantidades tengan cociente tendente a uno, pero tienes que realmente compare ellos (es el significado de hacer un cociente), y decir "pequeño número positivo" es sólo cegarse, como si para tratar la teoría básica de números con números pequeños, sólo tuvieras una excursión a un nuevo lugar como $10^{80}$ y decir "bueno, no hay ningún problema, todos esos números parecen ser $1$ por lo que todas las ecuaciones son triviales".

Un ejemplo sencillo de por qué es aproximadamente erróneo: cuando $x$ es un número positivo muy pequeño, entonces también lo es $2x$ Sin embargo, estará de acuerdo en que no quiere concluir:

$$2 = \frac{2x}{x} \to_{x\to 0} 1$$

Es el mismo punto que se aprende haciendo cálculo básico como equivalencias, desarrollos y "formas indeterminadas" (no conozco la palabra en castellano, pero me refiero a evaluar límites de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ ).

Tanto la intuición como el formalismo son poderosos en matemáticas, y tienes que hacer un diálogo perpetuo entre ellos: la intuición te guía a veces donde el formalismo no lo haría, y el formalismo es el método de caminar correctamente para terminar la caminata, evitar errores y perderse, controlar la validez. A veces es el formalismo el que te permite avanzar, incluso con una intuición ciega, y siendo la intuición la guardiana de la validez. Pero si quitas uno de esos dos pilares, como acabas de hacer confiando sólo en tu intuición, todo se derrumba rápidamente.

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Visión interesante

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leftaroundabout Puntos 1343

$\lim_{h\to0}$ realmente no hace ninguna declaración como " $h$ es un número particular muy pequeño". Más bien considera su argumento como un función de un $h$ , decide lo pequeño $h$ debe ser para que la función sea prácticamente constante, y luego cede esa constante. En principio eso no requiere evaluar para ningún muy pequeño en absoluto, por ejemplo con $$ f(x) = \begin{cases}1&\text{for }x<1\\x & \text{else}\end{cases} $$ tenemos $$ \lim_{x\to0}f(h) = f(0.0001) = f(0.5) = f(0) = 1 $$ porque esta función es realmente constante si sólo $x$ es menor que 1. En la práctica, los límites no suelen ser sobre tales funciones que son constantes en toda una región, sino que son necesariamente sobre continuo que le garantizan que puede hacer que el error a partir de la constancia sea arbitrariamente pequeño pasando a valores suficientemente pequeños; pero los argumentos siguen siendo siempre números reales correctos - ¡nada de "esto no se comporta como los números de otro modo"!

Y para un ordinario "algo pequeño" $h$ , digamos $h=0.5$ seguramente estará de acuerdo en que $\frac{\sqrt{5\cdot h + 35} - \sqrt{35}}{h}\neq 1$ . De hecho, cualquier calculadora de bolsillo le dirá que es $\approx0.415$ . Si luego hace $h$ aún más pequeño, ocurrirá lo siguiente (en un ordenador con aritmética de doble precisión IEEE754): $$\begin{align} \\ 10^{-1} &&& 0.4210786080687612 \\ 10^{-2} &&& 0.4224263146657137 \\ 10^{-3} &&& 0.4225620364017857 \\ 10^{-4} &&& 0.422575618168608 \\ 10^{-5} &&& 0.42257697643321984 \\ 10^{-6} &&& 0.42257711196924674 \\ 10^{-7} &&& 0.4225771199628525 \\ 10^{-8} &&& 0.42257708443571573 \\ 10^{-9} &&& 0.4225766403465059 \\ 10^{-10} &&& 0.4225775285249256 \\ 10^{-11} &&& 0.4225952920933196 \\ 10^{-12} &&& 0.4227729277772596 \\ 10^{-13} &&& 0.41744385725905886 \\ 10^{-14} &&& 0.4440892098500626 \\ 10^{-15} &&& 0.8881784197001251 \\ 10^{-16} &&& 0.0 \\ 10^{-17} &&& 0.0 \\ 10^{-18} &&& 0.0 \\ 10^{-19} &&& 0.0 \\ 10^{-20} &&& 0.0 \end{align}$$

Obsérvese cómo los argumentos "moderadamente pequeños" dan un valor muy coherente de 0,4225 algo, que corresponde a la "derivada exacta" real. Pero extremadamente pequeño argumentos de repente dan completamente falso. Esto es similar a tu pregunta: con extremadamente pequeño números, el ordenador ya no puede calcular realmente (básicamente se queda sin dígitos en los que almacenar las desviaciones), por lo que entonces se tiene una $0 \stackrel{?}= \frac00 \stackrel{?}= 1$ tipo de situación.

Se podría decir que esto es sólo un artefacto del procesador de coma flotante. Pero IMO llega al corazón de cómo funciona el análisis explota el hecho de que ciertas funciones se comportan en un determinado régimen (¡a menudo cerca de una singularidad de indeterminación absoluta!) muy predecible por lo que pueden ser bien aproximados por algo más simple. De este modo, se pueden realizar otros cálculos que, de otro modo, serían inviables. Aunque puede ser matemáticamente útil describir las desviaciones como infinitesimalmente pequeño especialmente para aplicaciones físicas, es más apropiado decir lo suficientemente pequeño como para que no tengamos que preocuparnos por los efectos de orden superior, pero no tan pequeño como para que la señal se pierda en el ruido de fondo. .

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