El error formal es fácil de explicar, pero tal vez la pregunta se refiera a la incomprensión de lo que se hace en este tipo de problema de forma más general, así que doy una respuesta más "meta".
Es la idea misma del análisis: no conocemos exactamente las cantidades con las que estamos tratando, así que nos permitimos cambiar un poco el problema para poder resolverlo, con la esperanza de que ilumine el problema original. En el análisis sólo podemos tratar muy pocos problemas, con objetos específicos e hipótesis sólidas, pero entender esos casos más sencillos ayuda a veces a comprender mejor los objetos originales (véanse sobre todo los problemas procedentes de la física).
Sin embargo, Eso no significa hacer lo que a uno le parezca razonable e intuitivamente defendible. De hecho, Dieudonné dijo que el análisis sólo se trataba de " limitando por abajo, limitando por arriba, aproximado ", y no podemos olvidar la idea principal que subyace: tenemos que controlar el resto, simplificar pero sabiendo lo que hacemos, sin olvidar lo que cambiamos y asumimos, de lo contrario sólo cambiamos el problema y nunca podremos volver. Esta idea, creo, debe seguir siendo uno de los mayores faros para entender y hacer análisis.
Propones que esas dos cantidades tengan cociente tendente a uno, pero tienes que realmente compare ellos (es el significado de hacer un cociente), y decir "pequeño número positivo" es sólo cegarse, como si para tratar la teoría básica de números con números pequeños, sólo tuvieras una excursión a un nuevo lugar como $10^{80}$ y decir "bueno, no hay ningún problema, todos esos números parecen ser $1$ por lo que todas las ecuaciones son triviales".
Un ejemplo sencillo de por qué es aproximadamente erróneo: cuando $x$ es un número positivo muy pequeño, entonces también lo es $2x$ Sin embargo, estará de acuerdo en que no quiere concluir:
$$2 = \frac{2x}{x} \to_{x\to 0} 1$$
Es el mismo punto que se aprende haciendo cálculo básico como equivalencias, desarrollos y "formas indeterminadas" (no conozco la palabra en castellano, pero me refiero a evaluar límites de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ ).
Tanto la intuición como el formalismo son poderosos en matemáticas, y tienes que hacer un diálogo perpetuo entre ellos: la intuición te guía a veces donde el formalismo no lo haría, y el formalismo es el método de caminar correctamente para terminar la caminata, evitar errores y perderse, controlar la validez. A veces es el formalismo el que te permite avanzar, incluso con una intuición ciega, y siendo la intuición la guardiana de la validez. Pero si quitas uno de esos dos pilares, como acabas de hacer confiando sólo en tu intuición, todo se derrumba rápidamente.
37 votos
No todos los números muy pequeños son aproximadamente iguales, al igual que no todos los números en general son aproximadamente iguales.
55 votos
$0.0000002$ es un $very\_small\_number\_above\_zero$ y también $0.0000001$ Sin embargo $\frac{0.0000002}{0.0000001}\neq 1$ .
2 votos
Dividiendo por números pequeños se obtienen números grandes. Mientras que ambos son un número pequeño por encima de $o.$ El denominador es más del doble que el numerador.
0 votos
¿cómo podría calcular $f'(5)$ ?
3 votos
Multiplicar numerador y denominador por el $\sqrt {5h + 35} + \sqrt {35}$ Esto hace que el $h$ de debajo del radical. Podrá anular $h$ arriba y abajo. Entonces evalúe como $h$ se acerca a $0$
0 votos
Sus explicaciones me mostraron donde me equivoque ahora :) gracias
0 votos
Dividí el muy pequeño número $\frac{1}{10^{10}}$ por el escaso número $\frac{1}{10^{1000}}$ y no conseguí 1, mi calculadora debe estar rota...
0 votos
La verdadera cuestión es cuánto más pequeño ?
2 votos
Su cálculo es una aproximación muy aproximada. Has demostrado que cada derivada es muy aproximadamente igual a 1 -en el sentido de que todo número lo es :)
0 votos
¿Por qué crees que tu aproximación es cierta? ¿Tiene $\frac{\text{very large number above zero}}{\text{very large number above zero}} \approx 1$ ?