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Posibilidades para un grupo de $G$ que actúa fielmente en un conjunto de objetos con dos órbitas?

Un grupo de $G$ actos fielmente en un conjunto $X$, de 5 de objetos. La acción ha dos órbitas: uno de tamaño 2, y uno de tamaño 3. ¿Cuáles son los posibilidades para el grupo $G$?

Creo que debería aplicar la órbita-estabilizador teorema. Creo que el principal indicio es el hecho de que este grupo tiene exactamente dos órbitas, pero no estoy seguro de cómo usar esa información. Lo que es una buena manera de ir sobre la lista de las posibilidades de este grupo $G$?

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Morgan Rodgers Puntos 3629

En primer lugar determinar el orden del grupo. Recuerde que es un subgrupo de $S_{5}$. El tamaño de la órbita debe dividir el tamaño del grupo, el cual a su vez debe dividir el orden de $S_{5}$; esto significa que $|G|$ es un múltiplo de a$6$, lo que a su vez se divide $120$.

En la superficie, que parece que hay un montón de opciones, pero considere que cualquiera de los $\sigma \in G$ puede ser descompuesto en su " acción en cada órbita, por lo que realmente se puede considerar $G$ a un subgrupo de $S_{2} \times S_{3}$, que tiene orden de $2\cdot 6 = 12$. Aviso esto también significa que usted puede describir las posibilidades de $G$ por la clasificación de la transitivo subgrupos de $S_{2}$$S_{3}$.

[EDITAR] Mi sugerencia realmente sólo hace que dos de las tres posibilidades aparente, es decir, $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3}$ (6) y $\mathbb{Z}_{2} \times S_{3}$ (orden 12). Pero, como señaló Derek Holt, en realidad hay una tercera posibilidad, a saber, un segundo grupo de orden 6. Yo sugeriría a considerar cómo $G = S_{3}$ puede actuar sobre las órbitas $\{1,2\}$ $\{3,4,5\}$ en una manera apropiada, teniendo en cuenta la acción de los dos generadores del grupo (es decir, considerar la posibilidad de $S_{3} = \langle \alpha, \beta \mid \alpha^{3} = \beta^{2} = e,\ \beta \alpha \beta = \alpha^{-1} \rangle$).

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