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Límite se encuentra usando coordenadas polares pero no se supone que existen.

Considere el siguiente 2-la función de variable:

$$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$$

Me gustaría encontrar el límite de esta función $(x,y) \rightarrow (0,0)$.

He utilizado las coordenadas polares en lugar de resolver de forma explícita en $\mathbb R^2 $, y se fue de la siguiente:

$$ x = r \cos \theta, \qquad y = r\sin\theta $$

Por lo tanto,

$$\lim_{(x,y) \a (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \to 0}\frac{r^2\cos^2\theta(r\sin\theta)}{r^4\cos^4\theta + r^2\sin^2\theta}$$

Esto se simplifica a,

$$ \lim_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^2\theta\sin\theta}{r^2 r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta)}$$

La simplificación de $r^3/r^2$, finalmente;

$$\lim_{r \to 0} \frac{r (\cos^2\theta\sin\theta)}{r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}$$

Ahora, a partir de lo anterior, encontramos que como $r \to 0$ el límite es $0$.

Quería comprobar esta respuesta lo he comprobado en Wolfram Alpha. Explícitamente sin cambio a coordenadas polares, se dice que el límite no existe en $(0,0)$, y con razón. Entonces ¿cómo es que en coordenadas polares, el límite existe y es igual a $0$? Estoy haciendo algo mal en este método?

También, ¿qué debo hacer en esta situación, y cuando NO debo usar coordenadas polares para encontrar los límites de multi-variable de funciones?

67voto

heropup Puntos 29437

El límite no está definido porque, para que el límite exista, el valor de la función para cada posible camino a $(0,0)$ debe tienden al mismo valor finito. Cuando $y = x^2$, que necesariamente no han demostrado que el límite es en realidad $0$. Cuando se transforma a coordenadas polares y, a continuación, tomó el límite de $r \to 0$, usted está asumiendo que $\theta$ es una constante fija. Por lo tanto, usted está buscando sólo en los caminos que siguen una línea recta al origen.

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Mathematica código:

F[x_, y_] := x^2 y/(x^4 + y^2)
op = ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t], F[r Cos[t], r Sin[t]]},
     {r, 0, Sqrt[2.1]}, {t, -Pi, Pi}, PlotPoints -> 40, MaxRecursion -> 8,
     Mesh -> {10, 48}, PlotRange -> {{-1, 1}, {-1, 1}, {-1/2, 1/2}}, 
     SphericalRegion -> True, Axes -> False, Boxed -> False];
an = Show[op, ViewPoint -> {{Cos[2 Pi #], Sin[2 Pi #], 0}, {-Sin[2 Pi #], 
     Cos[2 Pi #], 0}, {0, 0, 1}}.{1.3, -2.4, 2}] & /@ (Range[40]/40);

21voto

user2566092 Puntos 19546

No has tomado en cuenta lo que sucede si $\theta$ es variable como una función de la $r$ cuando $r$ va $0$. Elegir $\theta$ de modo que $\sin \theta = r$, es decir $\theta$ es de aproximadamente $r$ y usted conseguirá $\cos \theta$ es de alrededor de 1 para las pequeñas $r$, y entonces el límite no será cero, por lo que el límite no existe.

Si desea usar coordenadas polares para mostrar que existe un límite, especialmente en el caso en el que desea mostrar el límite es $0$ como $r \to 0$, entonces si el factor de un poder positivo de $r$, entonces usted necesita para acotar el resto de factor por una constante o un múltiplo de un poder negativo de $r$ es menor que la energía positiva que deja fuera. En el caso de que usted no puede hacer esto porque cuando $\sin \theta = r$ no se puede producir un obligado para la expresión después de que el factor $r$. Si había algo así como $r/(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$, entonces usted podría enlazado $1/(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$ por una constante para todo $\theta$ y, a continuación, obtener que el límite es de hecho $0$ como $r \to 0$.

17voto

Leon Katsnelson Puntos 274

Dejó $\alpha > 0$ y considerar el $\gamma_\alpha(t) de ruta de acceso = (t, \alpha t ^ 2) $. Entonces tenemos \circ \gamma_\alpha $f (t) = {\alpha t ^ 4 \over t ^ 4 + \alpha^2 t ^ 4} $ y el límite como $t \to 0$ es ${1 \over \alpha}$.

El límite existe a lo largo de todos estos caminos, pero es diferente. Si el límite existe, su valor debe ser independiente de cómo $(x,y) \to 0$.

-2voto

b.sahu Puntos 176

Depende de la ruta que está siguiendo para llegar al "Origen" o x = 0 e y = 0. Si sigues el camino x ^ 2 = y; entonces f = y^2/(2*y^2) = 1/2.. .y el límite será de 1/2.

-7voto

fernanfio Puntos 77
  • Elemento de la lista

Supongo que el problema aparece si $\theta=0$ $\pi$, en su argumentación, el límite es $0$ cuando $\theta\neq 0$.

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