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A quién se le ocurrió la $\varepsilon$-$\delta$ definiciones y los axiomas de Análisis Real?

He visto un montón de definiciones de conceptos como puntos de límite, acumulación de puntos, continuidad, etc, y los axiomas para el conjunto de los números reales. Pero tengo un tiempo difícil la aceptación de estas como "verdadero" definiciones o aceptable axiomas y debido a esto es muy difícil de creer que se puede "probar" nada de ellos. Se siente como puedo crear una aproximación a las cosas que se encuentran en el cálculo, pero se siente como que me estoy construyendo una falsificación en lugar de demostrar.

Lo que estoy buscando es una manera de descubrir estas cosas por mi propia cuenta, en lugar de tener a alguien que les diga a mí. Por ejemplo, si quiero obtener el área de un círculo y sé que la definición de $\pi$ e integral, que puedo averiguar.

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fianchetto Puntos 186

El riguroso de las formulaciones de los $\delta\varepsilon$ definiciones de límite y continuidad, así como la $\varepsilon$ definición de la convergencia de las secuencias, en su hoy forma, fueron desarrollados por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897).

Weierstrass presentado esta rigurosa formulación de Análisis Matemático por primera vez en las clases de un curso denominado Diferencial Rechnung durante el año académico 1859-60 en la Königliche Gewerbeinstitut en Berlín (ahora Universidad Técnica de Berlín). (Véase también el artículo de Wikipedia.)

Sin embargo, lo suficientemente riguroso (con los estándares de hoy en día) definición del límite estaba dado por Bernard Bolzano , en el año 1817.

El primer paso importante, sin embargo, hacia un $\delta\varepsilon$ definición aparece en la obra de Augustin Louis Cauchy Cours d'Analyse (1821), donde escribió:

La función $f(x)$ es continua con respecto a $x$ entre los límites dados si, entre estos límites, un infinitamente pequeño incremento en la variable siempre produce un infinitamente pequeño incremento en la propia función.

A pesar de Cauchy nunca usado $\delta\varepsilon$ definiciones, que de vez en cuando $\delta\varepsilon$ argumentos en sus pruebas.

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Tomas Dabasinskas Puntos 41

Contrariamente a una idea falsa común, uno no va a encontrar un épsilon, delta definición de continuidad en Cauchy incluso si se mira con un microscopio. Por otro lado, se encuentra su definición de continuidad en términos de infinitesimals: cada infinitesimal incremento de $\alpha$ necesariamente produce un cambio infinitesimal de $f(x+\alpha)-f(x)$ en la función. Más específicamente, la reciente traducción

Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward de Cauchy del Cours d'analyse. Una traducción anotada. Fuentes y Estudios en la Historia de las Matemáticas y las Ciencias Físicas. Springer, Nueva York, 2009

contiene el siguiente material en la definición de Cauchy. Cauchy de la Sección 2.2 es un derecho de la Continuidad de funciones. Cauchy escribe: "Si, a partir de un valor de $x$ contenida entre estos límites, debemos agregar a la variable $x$ infinitamente pequeño incremento de $\alpha$, la función se incrementa por la diferencia de $f(x+\alpha)-f(x)$", y afirma que "la función $f(x)$ es una función continua de $x$ entre los límites asignados si, para cada valor de $x$ entre estos límites, el valor numérico de la diferencia de $f(x+\alpha)-f(x)$ disminuye indefinidamente con el valor numérico de $\alpha$." Cauchy va a proporcionar un cursiva definición de continuidad en los siguientes términos:

La función $f(x)$ es continua con respecto a $x$ entre los límites dados si, entre estos límites, un infinitamente pequeño incremento en la variable siempre produce un infinitamente pequeño incremento en la propia función.

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Berci Puntos 42654

Así, originalmente, la definición de la diferencial e integral utilizado infintesimal números, pero que eran desconocidos y parecía una tontería, así que vino para arriba con el $\varepsilon$-$\delta$ definiciones de límite, continuidad y otros, para hacer que sea preciso. (Más tarde los 'números infinitesimales' fueron encontrados, en el sentido de que el conjunto de los números reales puede ser muy bien extendida con ellos, permanecer lógicamente consecuente.)

Pero, esto fue sólo un paso central en la historia, al menos de límite y continuidad. E. g., en general, la topología, resultó que la más eficaz de la definición de continuidad de una función $f:A\to B$ es que

La preimagen de $f^{-1}(V)$ de cualquier abierto subconjunto $V$ a $B$ es un abierto subconjunto de $A$. $\quad\quad \quad\quad(1)$

En cualquier espacio métrico $(X,d)$, (es decir, donde $X$ es un conjunto y $d$ significa "a distancia" define para el par de elementos de $X$) al abrir los subconjuntos se definen las uniones de (arbitrariamente muchos) abrir bolas de $B_x(r):=\{y\X\a mediados d(x,y)<r\}$. (En particular, en $\Bbb R$ la distancia está dada por $d(x,y):=|x-y|$ y $B_x(r)$ es el intervalo abierto $(x-r,x+r)$.)

Intenta demostrar que la definición de $(1)$ coincide con el $\varepsilon$-$\delta$ definición para $\Bbb R\a\Bbb R$ funciones.
(Consejos: tomar preimagen conserva arbitraria de los sindicatos, con el fin de reducir al caso en el que $V$ es en sí mismo una bola abierta.)

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